[論文レビュー] Cosemisimple Hopf algebras with antipode of arbitrary finite order

Julien Bichon|ArXiv.org|Apr 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特性0の代数的に閉じた体上で、任意の偶数有限順序 $2m$ の反作用素をもつ、余単純なホップ代数を、非退化な双一次形式に関連する普遍ホップ代数を用いて構成する。主な貢献は、それまで未知であったこのようなホップ代数の存在を証明することであり、これにより非自己対合的の場合におけるカプランスキー予想の反例が得られ、フロベニウス＝シュール指標理論が有限反作用素順序をもつ余単純ホップ代数へと拡張される。

ABSTRACT

We show that there exists cosemisimple Hopf algebras of arbitrary finite even order. We also discuss the Schur indicator for such Hopf algebras.

研究の動機と目的

• 特性0の代数的に閉じた体上で、任意の有限偶数順序 $2m$ の反作用素をもつ余単純ホップ代数を構成すること。
• 有限次元の余単純ホップ代数における反作用素の自己対合性に関するカプランスキー予想の反例を提供すること。
• 有限反作用素順序をもつ余単純ホップ代数へとフロベニウス＝シュール指標理論を一般化すること。
• このようなホップ代数における既約余モジュールのシュール指標を分析し、その値が $\pm1$ を超える可能性を示すこと。

提案手法

• 非退化な双一次形式から、行列 $E \in GL_n(k)$ を用いて普遍ホップ代数 $\mathcal{B}(E)$ を構成し、$E^{-1}{}^t\!a E a = I = a E^{-1}{}^t\!a E$ を満たす。
• 余乗法 $\Delta(a_{ij}) = \sum_k a_{ik} \otimes a_{kj}$、余単位元 $\varepsilon(a_{ij}) = \delta_{ij}$、反作用素 $S(a) = E^{-1}{}^t\!a E$ を定義する。
• カテゴリの同値性 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$ を用いて、$q$ が単位根でないか $q = \pm1$ のときの余単純性を証明する。
• 行列係数の線形独立性を用いて、$S^{2m}(a) = a$ かつ $S^{2k}(a) = a$ となるのは $m \mid k$ のときに限ることを示し、反作用素の順序が $2m$ であることを立証する。
• 余モジュールの直交性関係を適用してシュール指標 $\nu_2(V) = h(\chi_{V(1)}\chi_{V(2)})$ を定義し、双一次形式の行列 $E$ を用いたその式を導出する。
• 反作用素の順序が $2m$ となるように、$E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$、$\xi$ を原始 $m$ 乗単位根とするホップ代数 $\mathcal{B}(E)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の代数的に閉じた体上で、任意の有限偶数順序 $2m$ の反作用素をもつ余単純ホップ代数が存在するか？
• RQ2 非自己対合的反作用素をもつ余単純ホップ代数の例は存在するか。これにより、半単純性の欠如下でのカプランスキー予想が反証されるか？
• RQ3 有限反作用素順序をもつ余単純ホップ代数へとフロベニウス＝シュール指標理論を一般化できるか？
• RQ4 このようなホップ代数における既約余モジュール $V$ に対して、シュール指標 $\nu_2(V)$ が取りうる値は何か。特に $S^2 \neq \mathrm{id}$ の場合に注目する。
• RQ5 反作用素の順序が 4 で、かつ任意の奇数 $n \geq 3$ に対して $\nu_2(V) = n$ を満たす既約余モジュール $V$ をもつ余単純ホップ代数を構成できるか？

主な発見

• 任意の $m \geq 1$ に対して、特性0の代数的に閉じた体上で、反作用素の順序が正確に $2m$ である余単純ホップ代数が存在し、$E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$、$\xi$ を原始 $m$ 乗単位根とする $\mathcal{B}(E)$ を用いて構成される。
• $\mathcal{B}(E)$ の反作用素の順序が $2m$ であるのは、行列係数 $a_{ij}$ の線形独立性と $\xi^k = 1$ であることから、$S^{2k}(a) = a$ となるのは $m \mid k$ のときに限るためである。
• $\mathcal{B}(E)$ は、同値性 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$ と、$q = \pm1$ または $q$ が単位根でないときの $\mathcal{O}(SL_q(2))$ の余単純性から、余単純であることが保証される。
• 自己双対な既約余モジュール $V$ に対して、シュール指標 $\nu_2(V) = \frac{\dim(V)}{\mathrm{tr}(E{}^tE^{-1})}$ を満たす。ここで $E$ は $A$-線形双一次形式の行列である。
• $S^2 = \mathrm{id}$ のとき、シュール指標は $\pm1$ の値を取り、それぞれ対称的または反対称的 $A$-線形双一次形式に対応する。
• 反作用素の順序が 4 で、次元 $2n$（$n$ は奇数）の既約余モジュール $V$ をもつ例を構成し、$\nu_2(V) = n$ となることを示した。これにより、有限反作用素順序であっても、指標の絶対値が 1 を超えることが可能であることが示された。