[論文レビュー] Coset Vertex Operator Algebras and $\W$-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Cuipo Jiang|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コセット頂点 operator 代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ の重み3生成子を明示的に構成し、$ n=3 $ の場合、このコセットが $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $ に同型であることを証明する。これは $ \mathfrak{sl}_3 $-型 $ \mathcal{W} $-代数におけるレベルランク双対性に関する予想を確認するものである。

ABSTRACT

We give an explicit description for the weight three generator of the coset vertex operator algebra $C_{L_{\widehat{\sl_{n}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\sl_{n}}}(1,0)}(L_{\widehat{\sl_{n}}}(l+1,0))$, for $n\geq 2, l\geq 1$. Furthermore, we prove that the commutant $C_{L_{\widehat{\sl_{3}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\sl_{3}}}(1,0)}(L_{\widehat{\sl_{3}}}(l+1,0))$ is isomorphic to the $\W$-algebra $\W_{-3+\frac{l+3}{l+4}}(\sl_3)$, which confirms the conjecture for the $\sl_3$ case that $C_{L_{\widehat{\frak g}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\frak g}}(1,0)}(L_{\widehat{\frak g}}(l+1,0))$ is isomorphic to $\W_{-h+\frac{l+h}{l+h+1}}(\frak g)$ for simply-laced Lie algebras ${\frak g}$ with its Coxeter number $h$ for a positive integer $l$.

研究の動機と目的

• すべての $ n \geq 2 $, $ l \geq 1 $ に対して、コセット頂点 operator 代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ の重み3生成子を明示的に記述すること。
• コントミタンツ $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ が $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $ に同型であることを証明し、$ \mathfrak{sl}_3 $-型のための予想を検証すること。
• 単純なルート系を持つリー代数に対して、コセット構成と $ \mathcal{W} $-代数の一般同型を確立し、頂点 operator 代数理論におけるレベルランク双対性を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、コセット構成を用いて、頂点 operator 子代数 $ U $ と可換な $ V $ の部分代数 $ C_V(U) $ を定義し、特に $ V = L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0) \otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0) $ および $ U = L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0) $ に注目する。
• バーラソロ代数の構造と融合規則を用いて、コセット代数の重み3生成子を明示的に同定する。
• 主要な技術的道具として、コセット代数の元を $ \mathcal{W} $-代数内の $ \widetilde{W} $-像へ写像する写像 $ \varphi $ を用い、頂点 operator 代数構造を保存する。
• 証明は、重みに関する帰納法と、$ W $-場の単項式とその $ \widetilde{W} $-対応物との内積を用いて、$ \varphi $ が同型であることを示す。
• 著者たちは、パラフェルミオン代数の $ C_2 $-cofinality および有理型に関する既知の結果を活用し、コセット代数の構造を支援する。
• キャラクターの比較と $ \mathcal{W}_{k}(\mathfrak{sl}_n) $ の自己双対性を用いて、コセット構成と $ \mathcal{W} $-代数の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コセット頂点 operator 代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ の明示的重み3生成子の形は何か？
• RQ2 コントミタンツ $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ は、形 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $ の $ \mathcal{W} $-代数に同型か？
• RQ3 すべての単純なルート系を持つリー代数 $ \mathfrak{g} $ とそのコックスター数 $ h $ に対して、同型 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{g}}}(l+1,0)) \cong \mathcal{W}_{-h + \frac{l+h}{l+h+1}}(\mathfrak{g}) $ は成り立つか？

主な発見

• すべての $ n \geq 2 $ および $ l \geq 1 $ に対して、コセット頂点 operator 代数 $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_n}}(l+1,0)) $ の重み3生成子が明示的に構成され、代数の構造の具体的な実現が得られた。
• $ n = 3 $ の場合、コントミタンツ $ C_{L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l,0)\otimes L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(1,0)}(L_{\widehat{\mathfrak{sl}_3}}(l+1,0)) $ は $ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{-3 + \frac{l+3}{l+4}}(\mathfrak{sl}_3) $ に同型であることが示され、$ \mathfrak{sl}_3 $-型のための予想が確認された。
• コセット代数から $ \mathcal{W} $-代数への全射頂点 operator 代数準同型 $ \varphi $ を用いて同型が確立され、キャラクターの一致と双対性を用いてそれが同型であることが示された。
• 証明の鍵となる補題として、$ W $-場の単項式の線形結合が消えるならば、その $ \widetilde{W} $-場の対応物の線形結合に対しても同様に消えることが示され、内積構造が保存された。
• 著者たちは、$ \mathcal{W} $-代数 $ \mathcal{W}_{k}(\mathfrak{sl}_n) $ が自己双対的であり、$ \widetilde{W} $ で生成されることを示し、これは同型証明に不可欠である。
• 結果として、レベルランク双対性が $ \mathcal{W} $-代数へ拡張され、コセット構成により $ \mathfrak{sl}_3 $-型で中心電荷 $ c = -3 + \frac{l+3}{l+4} $ の $ \mathcal{W} $-代数が得られ、単純なルート系を持つリー代数に対する一般的予想を支持する。