[論文レビュー] Cosmological modelling with Regge calculus

Rex G. Liu, Ruth M. Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論の離散的・非摂動的アプローチであるコリンズ＝ウィリアムズ形式のレッジ計算を、均一な $Λ$-FLRW 宇宙と非均一な格子宇宙の両方の宇宙論的時空をモデル化するために適用している。形式が正規の格子モデルおよび摂動を加えた格子モデルの両方において、閉じた安定した力学を正確に再現することを示しており、粒子数が増加するに従い FLRW 挙動に収束することが分かった。

ABSTRACT

The late universe's matter distribution obeys the Copernican principle at only the coarsest of scales. The relative importance of such inhomogeneity is still not well understood. Because of the Einstein field equations' non-linear nature, some argue a non-perturbative approach is necessary to correctly model inhomogeneities and may even obviate any need for dark energy. We shall discuss an approach based on Regge calculus, a discrete approximation to general relativity: we shall discuss the Collins--Williams formulation of Regge calculus and its application to two toy universes. The first is a universe for which the continuum solution is well-established, the $Λ$-FLRW universe. The second is an inhomogeneous universe, the `lattice universe' wherein matter consists solely of a lattice of point masses with pure vacuum in between, a distribution more similar to that of the actual universe compared to FLRW universes. We shall discuss both regular lattices and one where one mass gets perturbed.

研究の動機と目的

• レッジ計算が線形化近似に依存せずに、宇宙論的非均一性を非摂動的にモデル化できるかどうかを調査すること。
• コリンズ＝ウィリアムズのレッジ形式が、$Λ$-FLRW 宇宙のような既知の連続的解を近似するのに有効であるかどうかを検証すること。
• 実際の宇宙の構造をよりよく反映する、格子上に配置された離散的な点質量から成る非均一な宇宙の力学を調査すること。
• 特に局所的な質量変動に対して、摂動を加えた格子宇宙の安定性と進化を評価すること。
• 非均一な幾何構造が赤方偏移や光の伝播などの宇宙論的観測量に及ぼす影響の可能性を評価すること。

提案手法

• 時空を平坦な 4単体（4ブロック）に離散化し、それらを 3次元のへり（四面体）に沿って接合するレッジ計算形式を用いる。曲率はへりにおける欠損角に符号化される。
• レッジ作用 $\mathcal{S}_{\text{Regge}} = \frac{1}{8\pi} \sum_i A_i \delta_i$ を適用し、$A_i$ をへりの面積、$\delta_i$ を欠損角とする。エッジ長の変化による運動方程式を導出する。
• 時間連続極限をとるために、コーシー面間の時間間隔をゼロに近づけ、時間に依存するエッジ長 $l(t)$ の微分方程式を導出する。
• 正規の格子宇宙を、3次元球面の三角形分割の四面体中心に点質量を配置することでモデル化し、物質内容は 4ブロック内を通過する粒子の世界線で近似する。
• 摂動を加えた格子では、独立したストラット上での作用の局所的変化を適用し、エッジ長の進化を記述する2つの結合された非線形微分方程式を導出する。
• 摂動の進化方程式を $\delta M/M$ について線形化し、時間対称制約からの初期条件を用いて数値的に解けるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コリンズ＝ウィリアムズのレッジ形式は、$Λ$-FLRW 宇宙のような既知の連続的解の力学を正確に再現できるか？
• RQ2 点質量から成る非均一な格子宇宙は、レッジ計算においてどのように進化するのか。安定的かつ閉じた進化を示すのか？
• RQ3 格子宇宙内の粒子数を増加させると、均一的・等方的な FLRW に類似した挙動に収束するのか？
• RQ4 局所的な質量摂動は、レッジフレームワーク下での格子宇宙の幾何的進化にどのような影響を及ぼすのか？
• RQ5 レッジモデル内の非均一性が、赤方偏移や光の伝播といった宇宙論的観測量にどの程度影響を及ぼすのか？

主な発見

• コリンズ＝ウィリアムズのレッジ形式は $Λ$-FLRW 宇宙を信頼できる近似で再現でき、四面体数が増加するに従い精度が向上する。
• 正規の格子宇宙は閉じた安定した進化を示し、粒子数 $N_p$ が増加するに従い、その力学的挙動は FLRW 挙動に収束する。
• 摂動を加えた格子宇宙は質量変動に対しても安定しており、摂動が大きくなると最大膨張が増加するが、不安定化は生じない。
• 正規の格子に対して導出されたハミルトニアン制約は、パラメータ $v$ を介して粒子の位置に依存し、粒子が四面体中心に配置されている場合にのみ、条件なしで安定である。
• 局所的変化法により、2つのストラットの変化から2つの独立した制約を導出し、グローバル解空間から一意の解を分離するのに成功した。
• 線形化された摂動方程式の数値解は、小さな質量摂動がもたらす体積進化がほとんど区別できないことを示しており、モデルの頑健性が裏付けられた。