[論文レビュー] Cosmological Singularities, Einstein Billiards and Lorentzian Kac-Moody Algebras

Thibault Damour|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論と物質の組み合わせにおける時空特異点の漸近的力学と、ローレンツ幾何におけるビリヤード運動との間の深い関係を確立し、特に11次元超重力理論を含む特定の理論において、その背後にある対称性が双曲的カクムーディ代数 E10 であることを示している。主な結果は、特異点近傍における一般解が、無限次元の同相空間 E10/K(E10) 上の零測地線に等価であり、ビリヤード力学は E10 のウェイル領域に従い、空間的勾配の高次項が高次根への展開によって代数の根にマッピングされることである。

ABSTRACT

The structure of the general, inhomogeneous solution of (bosonic) Einstein-matter systems in the vicinity of a cosmological singularity is considered. We review the proof (based on ideas of Belinskii-Khalatnikov-Lifshitz and technically simplified by the use of the Arnowitt-Deser-Misner Hamiltonian formalism) that the asymptotic behaviour, as one approaches the singularity, of the general solution is describable, at each (generic) spatial point, as a billiard motion in an auxiliary Lorentzian space. For certain Einstein-matter systems, notably for pure Einstein gravity in any spacetime dimension D and for the particular Einstein-matter systems arising in String theory, the billiard tables describing asymptotic cosmological behaviour are found to be identical to the Weyl chambers of some Lorentzian Kac-Moody algebras. In the case of the bosonic sector of supergravity in 11 dimensional spacetime the underlying Lorentzian algebra is that of the hyperbolic Kac-Moody group E(10), and there exists some evidence of a correspondence between the general solution of the Einstein-three-form system and a null geodesic in the infinite dimensional coset space E(10)/K (E(10)), where K (E(10)) is the maximal compact subgroup of E(10).

研究の動機と目的

• 特異点に近い時空特異点における一般相対性理論と物質の組み合わせの漸近的挙動を理解すること。
• 特異点付近の混沌的で周期的であるような力学的振るまいと、ローレンツ幾何におけるビリヤード運動との間の対応関係を確立すること。
• 特に11次元超重力理論において、極限的な状況で支配的な無限次元対称性代数を同定すること。
• 11次元超重力系の一般解が、高次補正までを含めて、E10/K(E10) 同相空間上の零測地線に等価であることを示すこと。
• E10 の根のレベルに基づく高さ展開を形式化し、超重力場の空間的勾配を体系的に捉えること。

提案手法

• 特異点近傍の漸近的力学を導出するために、アーノイット＝デセール＝ミラー（ADM）ハミルトニアン形式を用いる。
• 空間計量のイワサワ分解を適用し、スケール因子を分離することで、非対角成分の自由度が漸近的に凍結することを示す。
• 宇宙論的ビリヤード力学を、(D−1+n)次元のローレンツ空間内を未来指向の零測地線に沿って運動する粒子としてモデル化する。ここで、鏡面反射は超平面で起こる。
• 超重力場と E10 同相場との間の写像を構築し、超重力の運動方程式が、根の高さの30次までで E10 同相モデルの運動方程式と一致することを示す。
• E10 の根のレベルに基づく高さ展開を用い、高次の根が場の高次空間的勾配に対応することを示す。
• カクムーディ σ模型およびノネルチャージの形式を用いて、可積分性および対称性構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点に近い一般相対性理論と物質の組み合わせの漸近的力学は、ローレンツ空間内のビリヤード運動として記述可能か？
• RQ2 一般相対性理論およびその拡張における混沌的力学の背後にある隠れた無限次元対称性代数が存在するか？
• RQ3 11次元超重力理論は、特異点近傍で E10 カクムーディ代数と対応するか？
• RQ4 超重力場の空間的勾配は、無限次元リー代数 E10 の根系にどのようにマッピングされるか？
• RQ5 超重力と E10 同相モデルとの間の等価性はどの程度有効であり、高次項ではどのように破綻するか？

主な発見

• 11次元超重力の一般解が特異点に近い領域で、根の高さの30次までで E10/K(E10) 同相空間上の零測地線に等価であることが示された。
• 特異点を記述するビリヤード力学は、双曲的カクムーディ代数 E10 のウェイル領域に従い、これが系の対称性代数として現れる。
• 超重力場と E10 同相場との間の写像（式6.13を介して）は、レベル30までで運動方程式およびハミルトニアン制約を一致させ、高次の根がより小さな補正をもたらす。
• E10 代数は、3つの無限の根生成子の塔を用いて、超重力場のすべての空間的勾配を扱える。これらは順次高次の双対ポテンシャルに対応する。
• E10 同相モデルは11次元の宇宙定数と整合しないことから、このような項が加わると、超対称性と根本的に矛盾する可能性がある。
• 高さ展開により、各レベルが高次空間的勾配に対応する階層的構造が明らかとなり、アインシュタイン理論の背後には隠れた E10 対称性が存在する可能性が示唆される。