[論文レビュー] Cosmological time versus CMC time I: Flat spacetimes

Lars Andersson, Thierry Barbot+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次元 $n \geq 3$ の最大で、全域的に双曲的かつ平坦な時空で、コンパクトな因果的超曲面をもつものについて、それが因果的に不完全であるときかつそのときに限り、定常平均曲率（CMC）超曲面によるグローバルなフォリエーションをもつことを確立する。証明は、宇宙論的時間関数の等高線を幾何的バリアとして用い、概念的に単純な手法を提供する。この手法は、より広いクラスの定曲率時空へ一般化可能であり、将来のCMCフォリエーションの漸近挙動の分析を可能にする。

ABSTRACT

This paper gives a new proof that maximal, globally hyperbolic, flat spacetimes of dimension $n\geq 3$ with compact Cauchy hypersurfaces are globally foliated by Cauchy hypersurfaces of constant mean curvature, and that such spacetimes admit a globally defined constant mean curvature time function precisely when they are causally incomplete. The proof, which is based on using the level sets of the cosmological time function as barriers, is conceptually simple and will provide the basis for future work on constant mean curvature time functions in general constant curvature spacetimes, as well for an analysis of the asymptotics of constant mean foliations.

研究の動機と目的

• 最大で、全域的に双曲的かつ平坦な時空で、コンパクトな因果的超曲面をもつものについて、グローバルな定常平均曲率（CMC）フォリエーションの存在を確立すること。
• グローバルなCMC時間関数が存在する正確な条件——特に因果的不完全性——を明確にすること。
• 宇宙論的時間関数の等高線をバリアとして用いる幾何的技法を開発し、従来の手法とは対照的に概念的に単純な代替手法を提供すること。
• 将来の一般定曲率時空におけるCMC時間関数および漸近挙動の分析の基盤を築くこと。

提案手法

• 証明は、CMC超曲面を構成するために、宇宙論的時間関数の等高線をバリアとして用いる。
• 領域 $E^+(\Lambda)$ の幾何から導かれるバリア上の平均曲率の境界を制御するために最大原理を適用する。
• MGHF時空の分類が、平坦な正則領域 $E^+(\Lambda)$ または $E^-(\Lambda)$ の商として行われることに依存する。
• 過去および未来の漸近的 $\alpha$-および $\beta$-バリアを定義するために、$a \to 0$ および $a \to \infty$ の極限における超曲面列 $\Sigma_a$ を用いる。
• これらの列に適用されたバリア定理（定理5.3）から、グローバルCMC時間関数の存在が導かれる。
• 測地的完全な場合、この手法により、任意のCMC因果的超曲面が、測地的完全な時空における標準的完全測地的フォリエーションの葉と一致しなければならないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大で、全域的に双曲的かつ平坦な時空で、コンパクトな因果的超曲面をもつものについて、どのような条件下でグローバルCMC時間関数が存在するか？
• RQ2 宇宙論的時間関数を、CMCフォリエーションを構成するための幾何的バリアとして用いることは可能か？
• RQ3 このような時空において、因果的完全性とグローバルCMC時間関数の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 コンパクトな因果的超曲面をもつ平坦時空におけるCMCフォリエーションの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 測地的に完全なMGHF時空において、すべてのCMC因果的超曲面は、必然的に標準的完全測地的フォリエーションの葉であるか？

主な発見

• 最大で、全域的に双曲的かつ平坦な時空で、コンパクトな因果的超曲面をもつものについて、CMC超曲面によるグローバルフォリエーションが存在する。
• グローバルCMC時間関数が存在するのは、時空が因果的に不完全であるときかつそのときに限りである。
• 宇宙論的時間関数の等高線は、CMCフォリエーションを構成するための効果的バリアとして機能する。
• 因果的に不完全な時空では、CMC時間関数 $\tau_{\text{cmc}}$ は不等式 $|\tau| \leq -\frac{1}{\tau_{\text{cmc}}} \leq (n-1)|\tau|$ を満たす。
• 測地的に完全な場合、すべてのCMC因果的超曲面は、空間的平行移動によって誘導される標準的完全測地的フォリエーションの葉に一致する。
• 最大原理により、標準的フォリエーションの葉に接する任意のCMC超曲面は、それと一致しなければならないことが保証され、このような葉の一意性が証明される。