[論文レビュー] Cost-Based Intuitionist Probabilities on Spaces of Graphs, Hypergraphs and Theorems

Ben Goertzel|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基本的変換操作または規則系を用いた最小変換コストを通じた部分順序を定義することにより、グラフ、ハイパーグラフ、および定理の上にコストに基づく直感的確率測度を導入する。このコストに基づく評価がKnuthとSkillingの対称性公理を満たすことが示され、ラティス演算を尊重する確率に類似した測度が得られ、ハイパーグラフ表現を介して論理的定理における直感的確率の構築が可能になる。

ABSTRACT

A novel partial order is defined on the space of digraphs or hypergraphs, based on assessing the cost of producing a graph via a sequence of elementary transformations. Leveraging work by Knuth and Skilling on the foundations of inference, and the structure of Heyting algebras on graph space, this partial order is used to construct an intuitionistic probability measure that applies to either digraphs or hypergraphs. As logical inference steps can be represented as transformations on hypergraphs representing logical statements, this also yields an intuitionistic probability measure on spaces of theorems. The central result is also extended to yield intuitionistic probabilities based on more general weighted rule systems defined over bicartesian closed categories.

研究の動機と目的

• 集合論的基礎に依存しない、グラフ や定理などの集合でない実体のための確率枠組みを構築すること。
• 分解不能なグラフから出発する最小コスト変換列に基づいて、グラフ空間に新しい部分順序を定義すること。
• 推論に適したKnuthとSkillingの対称性公理を満たす直感的確率測度を構築すること。
• 論理的定理をハイパーグラフとしてモデル化し、推論をハイパーグラフ変換として扱うことで、フレームワークを論理的推論に拡張すること。
• 重み付き変換系を備えた任意の双カルテジアン閉圏へのこのアプローチの一般化。

提案手法

• 分解不能な基本グラフからグラフを生成するために必要な基本的変換（例：準同型写像）の数を最小化することで、有向グラフおよびハイパーグラフにコストベースの部分順序を定義する。
• グラフ空間におけるHeyting代数構造（結合が素性結合、交わりが直積）を用いて、論理的および確率的演算をモデル化する。
• 推論に用いるKnuthとSkillingの公理（単調性、結合則、合成則）を適用し、ラティス演算の下で確率に類似した振る舞いを示す評価を導出する。
• 各変換規則に重みが付与された規則系に対して、あるグラフから別のグラフへの変換コストを、その規則列の最小コストとして定義する。
• 論理的命題をラベル化され重み付きのハイパーグラフとしてモデル化し、推論をハイパーグラフ変換として扱うことで、証明長に基づく定理への確率割り当てを可能にする。
• 双カルテジアン閉圏に、区別されたモルフィズム（規則）の集合を備えた任意の圏へこの構成を一般化する。これにより、グラフを超えたより広範な圏的構造への応用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論的還元に依存しない、グラフ空間および定理空間に意味的な確率測度を定義できるか？
• RQ2 最小変換コストに基づくグラフ空間への部分順序はどのように構築され、ラティス演算とどのように相互作用するか？
• RQ3 グラフ上のコストベースの評価は、KnuthとSkillingが同定した確率理論の整合性に必要な対称性公理を満たすか？
• RQ4 このフレームワークは、ハイパーグラフ表現を介して論理的推論をモデル化し、定理に直感的確率を割り当てられるか？
• RQ5 重み付き変換を備えた任意の双カルテジアン閉圏への、この確率構成の一般化は何か？

主な発見

• 分解不能な基本グラフから構築するための最小変換数に基づくコストベースの部分順序が定義され、ラティス演算と整合的であることが保証される。
• コストベースの評価はKnuthとSkillingの対称性公理を満たし、積の法則、包含除算法則、および周波数に類似した特徴付けによる条件付き確率を満たす確率測度の構築が可能になる。
• 重み付き変換を持つ規則系では、あるグラフの確率は、公理からそのグラフを構築するために必要な最小コストの規則列の逆数に比例し、非正規化された直感的確率が得られる。
• 論理的定理をハイパーグラフとして表現した場合、このフレームワークは最短証明長の逆数に比例する確率を定理に割り当て、定理空間における新規で直感的な測度を提供する。
• この構成は、モルフィズム（規則）の集合を備えた任意の双カルテジアン閉圏へ一般化可能であり、確率枠組みをより広範な圏的および論理的文脈へ応用可能になる。
• 得られる確率測度は直感的である。これは、直感的論理およびHeyting代数構造と整合しており、複雑なシステムやAIにおける不確実な推論の基盤を提供する。