[論文レビュー] Cost-Parity and Cost-Streett Games

Nathanaël Fijalkow, Martín Zimmermann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、辺のコストを伴う有限グラフ上の2人零和無限ゲームとして、コスト同等性ゲームとコストストリートゲームを導入する。これらのゲームの勝利条件は、リクエストとレスポンスの間のコストに上限を課す。コスト同等性ゲームでは、位置戦略による勝利が可能であり、NP ∩ coNP に属することが示され、コストストリートゲームでは、有限状態戦略が必要であり、EXPTIME完全である。本稿は、古典的およびファイナリティ変種を還元によって統一する。

ABSTRACT

We consider two-player games played on finite graphs equipped with costs on edges and introduce two winning conditions, cost-parity and cost-Streett, which require bounds on the cost between requests and their responses. Both conditions generalize the corresponding classical ω-regular conditions as well as the corresponding finitary conditions. For cost-parity games we show that the first player has positional winning strategies and that determining the winner lies in NP ∩ coNP. For cost-Streett games we show that the first player has finite-state winning strategies and that determining the winner is EXPTIME-complete. This unifies the complexity results for the classical and finitary variants of these games. Both types of cost games can be solved by solving linearly many instances of their classical variants.

研究の動機と目的

• リクエストとレスポンスの間のコスト制約を伴う古典的ω-正則ゲームの拡張を目的とする。
• 古典的およびファイナリティ変種の両方を一般化する2つの新しい勝利条件、すなわちコスト同等性およびコストストリートゲームを定義し、分析すること。
• これらのゲームにおける勝者を特定するための計算複雑性を特定すること。
• コスト同等性およびコストストリートゲームにおける勝利戦略の存在および構造を特徴づけること。

提案手法

• リクエストとレスポンスのイベント間の距離にコスト制約を課したパリティ条件を組み合わせることで、コスト同等性ゲームを定義する。
• リクエスト-レスポンスペア間の応答遅延にコスト上限を課したストリート条件を拡張することで、コストストリートゲームを定義する。
• コスト制限付きのプレイの構造的性質を用いて、コスト同等性ゲームにおける先手の勝利戦略が位置的であることを証明する。
• コスト制限付きメモリ機構に基づく構築により、コストストリートゲームが有限状態の勝利戦略を有することを示す。
• コストゲームを古典的インスタンスに還元することで複雑さの結果を確立する。1つのコストゲームを解くには、線形に多くの古典的ゲームを解く必要がある。
• 古典的ゲームへの還元を用いて、古典的、ファイナリティ的、コストベースの変種の複雑さ結果を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト同等性ゲームにおいて、応答コストが有界な場合に勝者を特定する計算複雑性は何か？
• RQ2 コスト同等性ゲームでは位置戦略で十分に勝利可能であり、それらは古典的パリティゲームとどのように関係しているか？
• RQ3 コストストリートゲームを解く複雑性は何か？また、勝利戦略に必要なメモリの種類は何か？
• RQ4 コスト同等性およびコストストリートゲームは、古典的およびファイナリティω-正則ゲームの複雑さ結果をどのように統一するか？
• RQ5 コストゲームは、それらの古典的対応物の複数のインスタンスに還元することで解けるか？

主な発見

• コスト同等性ゲームでは、位置的勝利戦略が存在する。これは、先手が現在の状態にのみ依存する戦略で勝利可能であることを意味する。
• コスト同等性ゲームにおける勝者を特定することは、NP ∩ coNP に属する。これは、多項式時間階層が崩壊しない限り、NP完全でない可能性が高いことを示唆する。
• コストストリートゲームでは、有限状態の勝利戦略が必要である。これは、メモリが必要であるが、その複雑さが有界であることを示している。
• コストストリートゲームの勝者を特定するには EXPTIME が必要であり、この境界はタイトである。これは、高い計算複雑性を示している。
• 両方のコストゲームは、それらの古典的対応物の線形数のインスタンスを解くことで解ける。これにより、統一的なアルゴリズム的手法が得られる。
• 結果として、パリティおよびストリートゲームの古典的、ファイナリティ的、コスト制限付き変種の複雑さの地図が統一される。