[論文レビュー] Cosymplectic geometry, reductions, and energy-momentum methods with applications

J. de Lucas, A. Maskalaniec+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2023

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存するハミルトニアン系に一般化された古典的エネルギー運動量技法を、余シンプレクティック幾何学を活用することで導入する新しい余シンプレクティックエネルギー運動量法を提案する。これにより、相対的平衡点の研究が可能となり、特に勾配相対的平衡点と呼ばれる新しいクラスの点が特定可能となる。さらに、余シンプレクティックからシンプレクティックへの新しい還元手法が開発され、従来のAd*-同変性などの技術的制約が不要となる。本手法は、制限付き円形三体問題やtに依存するシュレーディンガー方程式へも成功裏に適用可能である。

ABSTRACT

Classical energy-momentum methods study the existence and stability properties of solutions of $t$-dependent Hamilton equations on symplectic manifolds whose evolution is given by their Hamiltonian Lie symmetries. The points of such solutions are called relative equilibrium points. This work devises a new cosymplectic energy-momentum method providing a new and more general framework to study $t$-dependent Hamilton equations. In fact, cosymplectic geometry allows for using more types of distinguished Lie symmetries (given by Hamiltonian, gradient, or evolution vector fields), relative equilibrium points, and reduction methods, than symplectic techniques. To make our work more self-contained and to fill some gaps in the literature, a review of the cosymplectic formalism and the cosymplectic Marsden-Weinstein reduction is included. Known and new types of relative equilibrium points are characterised and studied. Our methods remove technical conditions used in previous energy-momentum methods, like the ${ m Ad}^*$-equivariance of momentum maps. Eigenfunctions of $t$-dependent Schrödinger equations are interpreted in terms of relative equilibrium points in cosymplectic manifolds. A new cosymplectic-to-symplectic reduction is developed and a new associated type of relative equilibrium points, the so-called gradient relative equilibrium points, are introduced and applied to study the Lagrange points and Hill radii of a restricted circular three-body system by means of a not Hamiltonian Lie symmetry of the system.

研究の動機と目的

• 時間に依存するハミルトニアン系に一般化されたエネルギー運動量法を、余シンプレクティック幾何学を用いて開発し、古典的シンプレクティック手法の限界を克服すること。
• 余シンプレクティック多様体における、勾配相対的平衡点を含む新しい種類の相対的平衡点の定義と特徴付けを行うこと。
• 元の力学系がハミルトニアンでない場合でも適用可能な、新しい余シンプレクティックからシンプレクティックへの還元技術を確立し、標準的なMarsden–Weinstein還元を拡張すること。
• 制限付き円形三体問題やtに依存するシュレーディンガー方程式といった物理系へのフレームワークの応用を通じて、新たな動的洞察を提供すること。
• 運動量写像のAd*-同変性といった技術的仮定を排除し、エネルギー運動量法の適用範囲をより一般の系へ拡大すること。

提案手法

• 閉形式ωとηを備えた余シンプレクティック多様体(M, ω, η)を用い、ker ω ⊕ ker η = TM を満たすことで、時間の座標としての扱いを可能にする。
• 任意の滑らかな関数fに対して、ハミルトニアンベクトル場X_f、勾配∇f、および進化ベクトル場E_fを定義し、M = T × P 上の力学系はE_hに従う。
• 各成分がリーブベクトル場の第一積分および基本的ベクトル場のハミルトニアン関数である、余シンプレクティック運動量写像J^Φ: M → g*を導入する。
• カシミール関数Υの勾配に沿った商をとることで、新しい余シンプレクティックからシンプレクティックへの還元を構築し、シンプレクティックな還元多様体を得る。
• 回転フレームを固定することで、制限付き円形三体問題にこの還元を適用し、非自己同型系を自己同型ハミルトニアン系に変換する。
• 元の余シンプレクティックベクトル場R_TB + X_hから導かれる還元ハミルトニアンk(r, φ′, p_r, p_φ)を用いて、回転フレーム内での力学を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック枠組みを超えて、時間に依存する系にエネルギー運動量法を一般化する方法は何か？
• RQ2 余シンプレクティック幾何学において、どのような新しい種類の相対的平衡点が出現し、それらは古典的ものとどのように異なるか？
• RQ3 元の力学系がハミルトニアンでない場合でも適用可能な、余シンプレクティックからシンプレクティックへの還元を構築できるか？
• RQ4 余シンプレクティックエネルギー運動量法は、制限付き円形三体問題のような物理系にどのように応用可能か？
• RQ5 勾配ベクトル場は、非自己同型力学系における新しい平衡構造を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、π_*(R_TB + X_h) が消える点として定義される、相対的平衡点の新しいクラス「勾配相対的平衡点」を導入した。この点は、従来のシンプレクティック手法では捉えられない。
• 余シンプレクティックからシンプレクティックへの還元により、還元された力学系がハミルトニアン関数k(r, φ′, p_r, p_φ)をもって記述されるシンプレクティック商多様体が得られ、本稿で明示的に導出された。
• 制限付き円形三体問題の還元系は非自励的から自励的となり、角速度ϖを持つ回転フレーム内での運動を記述する。これにより、ラグランジュ点やヒル半径の解析が可能となる。
• 運動量写像のAd*-同変性の仮定を排除でき、エネルギー運動量法の適用範囲がより一般の系へ拡大された。
• tに依存するシュレーディンガー方程式の固有関数は、余シンプレクティック多様体内での相対的平衡点として解釈され、量子力学と幾何力学の間の接続が示された。
• 非ハミルトニアンベクトル場であるR_TB + X_hですら、還元系がハミルトニアンとなることを示しており、還元において非ハミルトニアンなベクトル場を効果的に扱えることが実証された。