[論文レビュー] Cotton Blend Gravity $pp$ Waves

S. Deser, R. Jackiw+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、2+1次元の conformal 重力において、Cotton トランスポーターが conformally 側に結合されたスカラー場のトレースなしエネルギー運動量テンソルによって駆動される系を研究する。exact な平面対称（pp-wave）解を導出し、この系がトポロジカル質量重力（TMG）と形式的に同等であることを示す。スカラー場の改善された作用は、共形スケーリングの下でアインシュタイン作用に写像され、Cotton 重力と TMG 重力の間の深いつながりを明らかにする。

ABSTRACT

We study conformal gravity in d=2+1, where the Cotton tensor is equated to a--necessarily traceless--matter stress tensor, for us that of the improved scalar field. We first solve this system exactly in the $pp$ wave regime, then show it to be equivalent to topologically massive gravity.

研究の動機と目的

• 3次元時空における純粋なCotton重力の研究。重力場は完全にトレースなしCottonテンソルによって支配される。
• 共形に結合されたスカラー場をCottonテンソルの源として、エネルギー運動量テンソルのトレースなしを保証する。
• 平面波幾何におけるexactなpp-wave解を導出し、それらの物理的および幾何的性質を特定する。
• Cotton重力に共形物質を加えた系とトポロジカル質量重力（TMG）との間の形式的同等性を確立する。
• 共形不変性の役割と改善されたスカラー場作用の共形重力の文脈における意味を調査する。

提案手法

• 研究はpp-waveアンザッツ $ ds^2 = F(u,y)du^2 + 2dudv - dy^2 $ を用い、$ u = (t+x)/\sqrt{2} $, $ v = (t-x)/\sqrt{2} $ により場の運動方程式を簡略化する。
• 場の運動方程式は $ C_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} $ から導出され、ここで $ T_{\mu\nu} $ は共形に結合されたスカラー場 $ \psi $ の改善されたエネルギー運動量テンソルである。
• スカラー場 $ \psi $ は $ u $ のみに依存すると制限され、$ F(u,y) $ についての単一の3階常微分方程式に系が還元される。
• 解 $ F(u,y) = f(u)\exp[\kappa\psi^2 y/8] - \ddot{\sigma}/\sigma \cdot y^2 + \alpha y + \beta $ が導出され、ここで $ \sigma = 1/\psi^2 $ である。
• 座標変換により $ \alpha $ および $ \beta $ 定数が消去され、それらが物理的でないことが示され、$ F(u,y) $ が $ f(u) $ および $ \psi(u) $ のみに依存することが残る。
• 共形スケーリング $ g'_{\mu\nu} = \psi^4 g_{\mu\nu} $ を通じて、形式的同等性がTMGに示され、この下でスカラー作用はアインシュタイン＝ヒルベルト作用に、Cotton方程式はTMG方程式に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cotton重力に共形に結合されたスカラー場が源である3次元共形重力において、exactなpp-wave解を構成可能か？
• RQ2 特に曲率と等長性の観点から、得られた時空構造の幾何的および物理的解釈は何か？
• RQ3 標準的な $ v $ 方向の並進対称性に加え、追加のキリングベクトルが存在する条件は何か？
• RQ4 Cottonテンソルの共形不変性とスカラー場エネルギー運動量テンソルのトレースなし性が、形式的同等性をTMG重力に導く仕組みは？
• RQ5 改善されたスカラー場作用がこの双対性を可能にする役割は何か？なぜそれはトレースなし源に限定されるのか？

主な発見

• Cotton重力に共形に結合されたスカラー場を加えた系にはexactなpp-wave解が存在し、計量成分 $ g_{uu} = f(u)\exp[\kappa\psi^2 y/8] - \ddot{\sigma}/\sigma \cdot y^2 $ で与えられる。ここで $ \sigma = 1/\psi^2 $ である。
• スカラー場 $ \psi $ は遅延時間 $ u $ のみに依存し、系は $ f(u) $ および $ \psi(u) $ によって完全に決定される3階常微分方程式に還元される。
• 一般の $ f(u) $ および $ \psi(u) $ に対して、幾何学は1つのキリングベクトル $ X^\alpha_1 = (0,1,0) $ を持ち、これは $ v $ 方向の並進に対応する。
• 定数 $ \psi $ および特定の形 $ f(u) = (A+Bu)^n e^{mu} $ の下で、追加のキリングベクトル $ X^\alpha_2 $ が出現し、拡大対称性に対応する。
• 座標変換により計量は $ ds^2 = U^n e^{aY} dU^2 + 2dUdV - dY^2 $ に写像され、ここで $ a = \kappa\psi^2/8 $ であり、拡大対称性の存在を確認する。
• 共形スケーリング $ g'_{\mu\nu} = \psi^4 g_{\mu\nu} $ を通じて、この系は形式的にトポロジカル質量重力（TMG）に同等である。この下でスカラー作用はアインシュタイン＝ヒルベルト作用に、Cotton方程式はTMG方程式に還元される。