[論文レビュー] Could quantum mechanics be an approximation to another theory?

Lee Smolin|ArXiv.org|Sep 14, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、外部自由度の平均化によって量子力学が近似として現れるかどうかを調査する。エネルギー保存則の平均化と時間反転不変性の条件下では、有効な力学はネルソンの量子力学の確率的定式化に還元され、粒子が円上に存在する場合のウォールストロムの反論が解消される。

ABSTRACT

We consider the hypothesis that quantum mechanics is an approximation to another, cosmological theory, accurate only for the description of subsystems of the universe. Quantum theory is then to be derived from the cosmological theory by averaging over variables which are not internal to the subsystem, which may be considered non-local hidden variables. We find conditions for arriving at quantum mechanics through such a procedure. The key lesson is that the effect of the coupling to the external degrees of freedom introduces noise into the evolution of the system degrees of freedom, while preserving a notion of averaged conserved energy and time reversal invariance. These conditions imply that the effective description of the subsystem is Nelson's stochastic formulation of quantum theory. We show that Nelson's formulation is not, by itself, a classical stochastic theory as the conserved averaged energy is not a linear function of the probability density. We also investigate an argument of Wallstrom posed against the equivalence of Nelson's stochastic mechanics and quantum mechanics and show that, at least for a simple case, it is in error.

研究の動機と目的

• 量子力学がより根本的な非局所的宇宙論的理論の近似として導かれるかどうかを調査すること。
• その導出が量子力学を生み出すために必要な条件——特にエネルギー保存則の平均化と時間反転不変性——を特定すること。
• 外部自由度の平均化の下で、サブシステムの有効記述としてネルソンの確率的量子理論形式が成立するかどうかを評価すること。
• ネルソンの確率的力学が量子力学と同値でないというウォールストロムの反論を提示・反証すること。
• ボーム理論のような二重の実在論的解釈（ontology）を避ける可能性——宇宙論的文脈における非局所的隠れ変数から量子的振る舞いを導出できるか——を検討すること。

提案手法

• 古典的ハミルトニアンを持つ宇宙論的理論を定式化し、サブシステムの自由度（x^a, p_b）を外部および非局所的自由度（y^α, π_β）から分離する。
• 全位相空間上の結合確率分布 ρ̃(x, y, t) を導入し、宇宙の統計的記述を行う。
• 外部自由度の平均化によりサブシステムの有効な確率的力学を導出し、フォッカー・プランク型方程式を得る。
• 有効力学にエネルギー保存則の平均化と時間反転不変性の条件を課す。
• これらの制約のもとで、有効理論がネルソンの量子力学の確率的定式化と一致することを示す。
• ウォールストロムの反論を検討し、粒子が円上に存在する場合の量子力学を検証し、ネルソン理論における不連続な波動関数が依然としてL²可積分であり、有効な量子状態であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部自由度の平均化によって非局所的宇宙論的理論から量子力学が有効記述として現れる条件は何か？
• RQ2 エネルギー保存則の平均化と時間反転不変性が、サブシステムの有効力学の形をどのように制約するか？
• RQ3 ネルソンの確率的量子理論形式が非局所的隠れ変数理論から導出可能か？その場合の仮定は何か？
• RQ4 ウォールストロムの反論——ネルソン理論がトポロジカル障害により量子力学を再現できない——は、粒子が円上に存在するような場合に成立するか？
• RQ5 非局所的宇宙論的理論は、ボーム理論のような二重の実在論的解釈を避けつつ、量子力学の予測を再現できるか？

主な発見

• 外部および非局所的自由度の平均化の下で、サブシステムの有効力学はエネルギー保存則の平均化と時間反転不変性の条件下でネルソンの確率的量子力学定式化に一致する。
• ネルソン理論における量子ポテンシャル項は、外部自由度への結合に起因し、確率密度がエネルギー寄与に非古典的な役割を果たすことを示す。
• ウォールストロムの反論は、粒子が円上に存在する場合に無効であることが示され、ネルソン理論における不連続な波動関数が依然としてL²可積分であり、有効な量子状態である。
• 導出結果から、ネルソン理論における保存される平均エネルギーは、確率密度の線形関数ではないことが示され、古典的確率的理論とは明確に異なる。
• 非局所的理論から量子力学を導出するための条件は非自明であるが、特に事前幾何学的または離散的時空モデルにおける非局所的相互作用を持つ理論では実現可能である可能性がある。
• 解析から、非局所的宇宙論的理論が、厳密な平均保存則と時間反転対称性を満たす限り、二重の実在論的解釈を必要とせずに量子力学を再現できる可能性がある。