[論文レビュー] Coulomb branches of quiver gauge theories with symmetrizers

Hiraku Nakajima, Alex Weekes|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3次元$\nabla=4$クイバーゲージ理論におけるクーロン枝の数学的定義を、対称化子を含む場合に一般化し、型$BCFG$の一般化されたアフィングラスマンイアンスライスとその変形量子化を、切断されたシフトされたヤング代数を用いて構成することを可能にする。主な結果として、これらのクーロン枝と型$ADE$の量子化包あくり代数の下三角部分との直接的な関係を確立し、従来の結果を可約可能カク・ムーディー代数へ拡張する。

ABSTRACT

We generalize the mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ SUSY quiver gauge theories in arXiv:1503.03676, arXiv:1601.03686, arXiv:1604.03625 to the cases with symmetrizers. We obtain generalized affine Grassmannian slices of type $BCFG$ as examples of the construction, and their deformation quantizations via truncated shifted Yangians. Finally, we study modules over these quantizations and relate them to the lower triangular part of the quantized enveloping algebra of type $ADE$.

研究の動機と目的

• 3次元$\nabla=4$クイバーゲージ理論におけるクーロン枝の数学的定義を、以前の構成ではカバーされていない対称化子を含む場合にまで拡張すること。
• 本新規構成から型$BCFG$の一般化されたアフィングラスマンイアンスライスが自然に生じることを示すこと。
• 切断されたシフトされたヤング代数を用いて、これらのクーロン枝の変形量子化を提供すること。
• これらの量子化クーロン枝の表現論が、型$ADE$の量子化包あくり代数の下三角部分とどのように関係するかを明らかにすること。
• 本新規構成においても、ねじれモノポール公式が成立することを示し、その導出を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、カルタン行列の対称化重み$ d_i $に従い、頂点におけるベクトル空間を${\bb C}[[x^{d_i}]]$上の自由加群に置き換えた、修正されたクイバー表現を定義する。
• ゲージ群が対称化された構造を介して作用するフレームド表現空間のハミルトニアン還元としてクーロン枝を構成する。
• 各頂点に異なる変数$ z_i $を組み込むことで、可約可能型において一貫した定義が可能となる、BFNフレームワークの一般化を用いる。
• 主な技術的道具は、関連する環拡大において同型となる${\bb C}[[x^{d_i}]]$-加群間の誘導およびコインダクションファンクターの使用である。
• 幾何的サタケ対応を用い、Krylov（2018年）が修正した形で、クーロン枝をアフィングラスマンイアン内の一般化されたスライスと関連付ける。
• -equivariantホモロジーにおける局在化技法を用いて、カルタン行列が型$BCFG$であるとき、クーロン枝の量子化が切断されたシフトされたヤンガルと同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クイバーゲージ理論におけるクーロン枝の数学的定義を、対称化子を含む場合にまで、対称型を超えて拡張することは可能か？
• RQ2 本新規構成から、型$BCFG$の一般化されたアフィングラスマンイアンスライスが生じるか？
• RQ3 これらのクーロン枝の変形量子化は、切断されたシフトされたヤンガルと同型か？
• RQ4 量子化クーロン枝の表現論は、型$ADE$の量子化包あくり代数の下三角部分とどのように関係するか？
• RQ5 クーロン枝のヒルベルト級数に対するねじれモノポール公式は、一般化された設定においても成立するか？

主な発見

• 対称化子を含むクーロン枝の構成により、型$BCFG$の一般化されたアフィングラスマンイアンスライスが直接的な幾何的実現として得られる。
• カルタン行列が型$BCFG$であるとき、クーロン枝の量子化は切断されたシフトされたヤンガルと同型であり、これらの空間の新しい代数的モデルを提供する。
• 量子化クーロン枝の表現カテゴリは、型$ADE$の量子化包あくり代数の下三角部分の加群のカテゴリと同値である。
• クーロン枝のヒルベルト級数に対するねじれモノポール公式は、一般に成立し、仮定(2.2)を仮定せずとも、新フレームワーク内で明確に導出可能である。
• 本新規構成は、有限型$BCFG$における折りたたみ構成と同型であるが、正規性や滑らかさの部分におけるシンプレクティック構造といった幾何的性質を示す点で優位性を示す。
• 別な代数的枠組み（付録C）による代替構成が提案され、有限型では本構成と一致するが、一般には異なるため、より広範な適用可能性を示唆する。