[論文レビュー] Coulomb Potential of a Point Mass in Theta Noncommutative Geometry

Alexis Licht|ArXiv.org|May 14, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最小分散ガウス状態を用いて、θ型非可換幾何における点電荷のクーロンポテンシャルを調査する。有効ポテンシャルは原点で有限であり、有効電荷密度はガウス分布であり、有効静電エネルギーも有限であるが、場の演算子の二乗の空間積分が発散するため、真の静電エネルギー演算子は無限大のままである。

ABSTRACT

The form of the Coulomb potential of a point in a noncommutative geometry is investigated. A distinction is made between measured distance and "coordinate" distance. The "effective" value of an operator is defined as its expectation value in a probe state of minimum coordinate dispersion. We find the effective value of the Coulomb potential to be finite at the origin, the effective charge density to be Gaussian, and the effective total electrostatic energy to be finite. The operator corresponding to the total electrostatic energy is found however to still be infinite.

研究の動機と目的

• 最小分散状態を用いて、θ型非可換幾何における点電荷の有効クーロンポテンシャルを定義・計算すること。
• 非可換時空における点電荷の有効静電エネルギーが、有限のままであるかどうかを特定すること。
• 非可換幾何の文脈において、座標距離と測定距離の区別をすること、特に場の演算子期待値の文脈で。
• 真の電場演算子およびそのエネルギー密度積分の振る舞いを分析し、有効エネルギーと対比すること。

提案手法

• 最小分散状態として点に中心を置いたガウス波パッケージを用い、期待値による有効場の値を定義する。
• 有効ポテンシャルを、平行移動された最小分散状態における1/rの期待値として定義する。
• 座標演算子x^iを可換座標ξ^iと運動量演算子の関係x^i = ξ^i + (θ^{ik}/2)p^kを用いて表す。
• 測定距離を、平行移動状態におけるr = |x|の期待値として計算し、座標距離aとは区別する。
• 非可換枠組みにおけるデルタ関数の期待値をとることで、有効電荷密度をガウス分布として導出する。
• 有効静電エネルギーを、空間におけるE²の積分により評価し、U_E = (1/2)∫φρ d³aの関係を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小分散状態を用いた測定において、θ型非可換幾何における点電荷のクーロンポテンシャルは1/rからどのように逸脱するか？
• RQ2 非可換空間における有効電荷密度の形は何か？ そして、可換理論におけるデルタ関数とはどのように異なるか？
• RQ3 非可換性によって生じる非局所性にもかかわらず、θ型非可換幾何における全有効静電エネルギーは有限か？
• RQ4 有効エネルギーが有限であるのにもかかわらず、真の静電エネルギー演算子がなぜ無限大のままなのか？

主な発見

• 原点における有効クーロンポテンシャルは、可換量子電磁力学における1/rの発散とは対照的に、有限である。
• 有効電荷密度は幅σのガウス分布であり、ρ(a) = (1/(2π)^{3/2}√σ σ_p) exp(−(a³)²/(2σ) − a_⊥²/(2σ_p)) で与えられる。
• 有効静電エネルギーは有限であり、U_E = 1/(2√2π√(σ_p − σ)) arcsin(√((σ_p − σ)/σ_p)) で与えられ、σ < σ_p のとき、σ → 0 で 1/(4√θ) に近づく。
• 真の静電エネルギー演算子（空間におけるE²の積分として定義）は、演算子の二乗の空間積分が発散するため、無限大のままである。
• 測定距離⟨r⟩は座標距離aよりもσ/aだけ大きいことから、非可換パラメータθに非自明な依存性を示す。
• 1/rからのずれには方向依存性が生じ、補正の大きさは変位ベクトルとθベクトルの間の角度に依存する。