[論文レビュー] Coulomb problem in NC quantum mechanics: Exact solution and non-perturbative aspects

Veronika Gáliková, P. Prešnajder|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2013

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、[xᵢ,xⱼ] = iλεᵢⱼₖxₖ を満たす回転対称性を持つ非可換空間 ℝ³_λ におけるクーロン問題の正確な解を提示する。非可換ハミルトニアンは、重み付きヒルベルト＝シュミット作用素からなるヒルベルト空間におけるエルミート作用素として構成され、E < 0 の場合は正確な束縛状態、E > 0 の場合は散乱状態をもたらす。低エネルギーではNC補正がλに関して解析的であり、高エネルギーでは特異的であり、予期しない超高エネルギー束縛状態を含む。

ABSTRACT

The aim of this paper is to find out how would possible space non-commutativity (NC) alter the QM solution of the Coulomb problem. The NC parameter lambda is to be regarded as a measure of the non-commutativity - setting lambda = 0 means a return to the standard quantum mechanics. As the very first step a rotationaly invariant non-commutative 3D space, an analog of the Coulomb problem configuration space (3D space with origin extracted), is introduced. The non-commutative space in question is generated by NC coordinates realized as operators acting in an auxiliary Fock space. The properly weighted Hilbert-Schmidt operators in this Fock space form an NC analog of the Hilbert space of the wave functions. We will refer to them as "wave functions" also in the NC case. The definition of an NC analog of the hamiltonian as a hermitian operator is one of the key parts of this paper. The resulting problem is exactly solvable. The full solution is provided, including formulas for the bound states for negative energy E and low-energy scattering for positive E (both containig NC corrections analytic in lambda) and also formulas for high-energy scattering and unexpected bound states at ultra-high energy (both containing NC corrections singular in lambda). All the NC contributions to the known QM solutions either vanish or disappear in the limit of vanishing lambda.

研究の動機と目的

• クーロン問題の配置空間 ℝ³₀ の量子力学的類似物として、回転対称性を持つ非可換空間 ℝ³_λ を定式化すること。
• 補助フォック空間 𝒫 における重み付きヒルベルト＝シュミット作用素を用いて、NC波動関数のヒルベルト空間 ℋ_λ を定義すること。
• 回転対称性を保ち、正確な可解性を可能にする ℋ_λ 内のエルミートNCハミルトニアン作用素を構成すること。
• すべてのエネルギー領域（束縛状態 E < 0、低エネルギー散乱 E > 0、高エネルギー散乱）におけるNC径方向シュレーディンガー方程式を導出し、解くこと。
• 非摂動的NC効果、特に特異的補正および超高エネルギーにおける予期しない束縛状態を同定すること。

提案手法

• 補助フォック空間 𝒫 内の作用素として実現される、[xᵢ,xⱼ] = iλεᵢⱼₖxₖ を満たすNC座標を用いて、回転対称性を持つNC空間 ℝ³_λ を導入する。
• ヒルベルト空間 ℋ_λ を、𝒫 内の重み付きヒルベルト＝シュミット作用素の空間として定義し、波動関数を作用素値関数と解釈する。
• NC代数と整合性を持ち、回転対称性を保つように、ℋ_λ 内のエルミートNCハミルトニアン作用素を構成する。
• NC配置空間における変数分離を用いてNC径方向シュレーディンガー方程式を導出し、退化超幾何型方程式に帰着する。
• 正規順序付けと超幾何関数の恒等式（特にクーマー変換）を用いて径方向方程式を解き、散乱状態の分解を実行する。
• 漸近的解析と特殊関数の恒等式（例えば、退化超幾何関数および一般化超幾何関数）を適用し、NC補正を含む物理的解を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーロン問題の対称性を保つ回転対称性を持つ非可換空間 ℝ³_λ を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 この非可換設定におけるNCヒルベルト空間 ℋ_λ の波動関数の構造はいかなるものか？
• RQ3 回転対称性を尊重し、正確な可解性を可能にするエルミートNCハミルトニアンはどのように構成されるか？
• RQ4 標準量子力学の束縛状態および散乱状態に対するNC補正は何か？ そして、異なるエネルギー領域における挙動はいかなるものか？
• RQ5 高エネルギーまたは超高エネルギーにおいて、非摂動的NC効果（特異的補正や予期しない束縛状態など）は存在するか？

主な発見

• NCクーロン問題は正確に可解であり、E < 0 の束縛状態解はNCパラメータλに関して解析的補正を示す。
• E > 0 の低エネルギー散乱状態は、λに関する解析的NC補正を持つS行列で記述され、λ → 0 の極限で標準QMと整合的である。
• 高エネルギー散乱解にはλに関して特異的なNC補正を含み、標準QMには存在しない非摂動的効果を示している。
• 予期しない束縛状態が超高エネルギーで出現し、NC補正がλに関して特異的であるため、NC量子力学における新しい非摂動的物理が示唆される。
• すべてのNC寄与はλ → 0 の極限で消え、水素原子の標準量子力学的結果に回復する。
• 径方向波動関数は一般化超幾何関数 φ(−N, 2j+2, ±2αλ) で表され、明示的な正規順序付けとクーマー恒等式に基づく入射波・出射波への分解が可能である。