[論文レビュー] Coulomb problem in non-commutative quantum mechanics - Exact solution

Veronika Gáliková, P. Prešnajder|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、回転対称性を持つ非可換空間 $\hat{\mathbf{R}}^{3}_{0}$ 上における非可換量子力学におけるクーロン問題の正確な解を提示する。補助フォック空間における重み付きヒルベルト＝シュミット作用素としての波動関数のヒルベルト空間を構築し、水素原子ハミルトニアンの非可換アナログを定義することで、著者らは正確な束縛状態エネルギー $E^{\lambda}_{n}$ および固有状態 $\hat{\psi}^{\lambda}_{njm}$ を導出する。非可換性はエネルギー準位を変形するが、変形パrameter $\lambda$ を通じて回転対称性を保つ。この解は、非可換補正を含む修正された逐次超幾何関数を用いて、標準的な水素原子スペクトルを一般化する。

ABSTRACT

We investigate consequences of space non-commutativity in quantum mechanics of the hydrogen atom. We introduce rotationally invariant noncommutative space $\hat{\bf R}^3_0$ - an analog of the hydrogen atom ($H$-atom) configuration space ${\bf R}^3_0\,=\, {\bf R}^3\setminus \{0\}$. The space $\hat{\bf R}^3_0$ is generated by noncommutative coordinates realized as operators in an auxiliary (Fock) space ${\cal F}$. We introduce the Hilbert space $\hat{\cal{H}}$ of wave functions $\hatψ$ formed by properly weighted Hilbert-Schmidt operators in ${\cal F}$. Finally, we define an analog of the $H$-atom Hamiltonian in $\hat{\bf R}^3_0$ and explicitly determine the bound state energies $E^λ_n$ and the corresponding eigenstates $\hatψ^λ_{njm}$. The Coulomb scattering problem in $\hat{\bf R}^3_0$ is under study.

研究の動機と目的

• 水素原子の量子力学的記述を回転対称性を保つ非可換空間へ拡張すること。
• 非可換座標 $\hat{x}_i$ を満たす $\hat{\mathbf{R}}^{3}_{0}$ を $\mathbf{R}^{3}\setminus\{0\}$ の変形として定義すること。
• 補助フォック空間 $\mathcal{F}$ 内の重み付きヒルベルト＝シュミット作用素としての波動関数のヒルベルト空間 $\hat{\mathcal{H}}$ を構築し、ユニタリティと適切なノルム構造を保証すること。
• $\hat{\mathcal{H}}$ 上に作用する非可換クーロンハミルトニアンの非可換アナログを定義し、変形パrameter $\lambda$ を通じて回転不変性を保つこと。
• 非可換シュレーディンガー方程式を正確に解き、変形された束縛状態スペクトル $E^{\lambda}_{n}$ および対応する固有状態 $\hat{\psi}^{\lambda}_{njm}$ を特定すること。

提案手法

• フォック空間 $\mathcal{F}$ 内で非可換座標 $\hat{x}_i$ を用い、$[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = i\theta^{ij}$ を満たす回転対称性を持つ非可換空間 $\hat{\mathbf{R}}^{3}_{0}$ を導入する。$\theta^{ij}$ は回転対称性を保つように選ばれる。
• ヒルベルト空間 $\hat{\mathcal{H}}$ を $\mathcal{F}$ 内の重み付きヒルベルト＝シュミット作用素の空間として定義し、作用素の積とその随伴作用素のトレースを用いてノルムを定義する。
• 生成・消滅作用素を用いた演算子実現を用いて、標準水素原子ハミルトニアンの変形として非可換クーロンハミルトニアンを構築する。
• 生成関数 $\hat{R}$ を用いて径方向波動関数を表現し、数作用素 $\hat{N}$ のべき級数に展開する。$\hat{a}_\alpha$, $\hat{a}^\dagger_\alpha$, $\hat{N}$ を含む交換関係を用いて径方向方程式を導出する。
• 変数 $\varrho$ における変形パrameter $\lambda$ と $\kappa$ を用いたパラメータ化により、非可換径方向シュレーディンガー方程式を逐次超幾何型微分方程式に変換する。
• 単値解を保証するクーマー関係を適用し、逐次超幾何関数が多項式に還元される条件（第一引数が非正整数）により束縛状態を特定し、エネルギー準位の量子化を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転対称性を保つ非可換空間において、クーロン問題を量子力学的に一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 配置空間が $\hat{\mathbf{R}}^{3}_{0}$ である非可換量子力学における波動関数のヒルベルト空間の構造は何か？
• RQ3 非可換水素原子ハミルトニアンのアナログはどのように構築され、そのスペクトル的性質は何か？
• RQ4 非可換クーロン問題における正確な束縛状態エネルギーと固有状態は何か？ そして、標準的な水素原子スペクトルとはどのように異なるか？
• RQ5 非可換パラメータ $\lambda$ は、回転不変性を保ちつつエネルギー準位と波動関数をどのように変形するか？

主な発見

• 非可換クーロン問題は、補助フォック空間 $\mathcal{F}$ 内の重み付きヒルベルト＝シュミット作用素としてのヒルベルト空間 $\hat{\mathcal{H}}$ において正確に解ける。これによりユニタリティと適切な正規化が保証される。
• 束縛状態エネルギーは $E^{\lambda}_{n} = -\frac{m e^4}{2\hbar^2 n^2} \cdot \left(1 + \lambda \kappa_n^2 \eta^2 \right)^{-1}$ で与えられ、$\kappa_n = \sqrt{-2mE_n}/\hbar$ である。非可換性による標準水素スペクトルの変形が示される。
• 固有状態 $\hat{\psi}^{\lambda}_{njm}$ は $\mathcal{F}$ 内の作用素関数として構築され、量子数 $n, j, m$ を持ち、径方向関数 $R(\varrho)$ を通じて非可換パラメータ $\lambda$ に依存する。
• 径方向波動関数は $R(\varrho) = e^{\frac{1}{2}(D + \lambda\kappa^2)\varrho} F\left(j+1 + \frac{\alpha}{D}, 2j+2; -D\varrho\right)$ で与えられ、$D = -2\kappa\sqrt{1 + \eta^2}$ である。逐次超幾何関数により束縛状態の二乗可積分性が保証される。
• 逐次超幾何関数の第一引数が非正整数になるとエネルギー準位が量子化され、$n = j+1, j+2, \dots$ の条件が得られる。これは可換の場合と同様の構造を示すが、$\lambda$ に依存する修正が加わる。
• 回転対称性は、回転不変な非可換配置空間と、回転共変な演算子から構成されるハミルトニアンを用いることで保たれ、量子数 $j$ と $m$ が良い量子数のまま残る。