[論文レビュー] Count of eigenvalues in the generalized eigenvalue problem

Marina Chugunova, Dmitry E. Pelinovsky|ArXiv.org|Feb 17, 2006

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正の本質的スペクトルを有する自己随伴的移流作用素を含む一般化固有値問題を分析することにより、ハミルトニアン系における非線形波の厳密なスペクトル安定性理論を確立する。固有値問題 $ A u = \gamma K u $ において、不安定および潜在的に不安定な固有値の数が、作用素 $ L_+ $ の負の固有値の数に等しいことを証明し、ポントリャーギン空間の分解と不変部分空間理論を用いて孤立固有値の上限を提供する。これは、有限次元の設定を超えて、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

We address the count of isolated and embedded eigenvalues in a generalized eigenvalue problem defined by two self-adjoint operators with a positive essential spectrum and a finite number of isolated eigenvalues. The generalized eigenvalue problem determines spectral stability of nonlinear waves in a Hamiltonian dynamical system. The theory is based on the Pontryagin's Invariant Subspace theorem in an indefinite inner product space but it extends beyond the scope of earlier papers of Pontryagin, Krein, Grillakis, and others. Our main results are (i) the number of unstable and potentially unstable eigenvalues {\em equals} the number of negative eigenvalues of the self-adjoint operators, (ii) the total number of isolated eigenvalues of the generalized eigenvalue problem is {\em bounded from above} by the total number of isolated eigenvalues of the self-adjoint operators, and (iii) the quadratic form defined by the indefinite inner product is strictly positive on the subspace related to the absolutely continuous part of the spectrum of the generalized eigenvalue problem. Applications to solitons and vortices of the nonlinear Schrödinger equations and solitons of the Korteweg--De Vries equations are developed from the general theory.

研究の動機と目的

• 無限次元ハミルトニアン系における空間的に局在した解の包括的なスペクトル安定性理論の構築。
• ポントリャーギンの不変部分空間定理を、無限次元における不定内積を有する一般化固有値問題へ応用可能にする。
• 自己随伴作用素 $ L_+ $ および $ L_- $ の負のスペクトルに基づき、不安定および埋め込まれた固有値の正確な数え上げの提供。
• KdV型ハミルトニアン系へのモース指数理論の一般化、複素および純虚数固有値を含む場合を含む。
• 非線形シュレーディンガー方程式およびコルトウェーグ＝ド・ブリース方程式におけるソリトンに理論を適用し、新たな安定性基準を提示。

提案手法

• 不定内積空間におけるポントリャーギンの不変部分空間定理を用い、一般化固有値問題 $ A u = \gamma K u $ の固有値を分類。
• ヒルベルト空間 $ \mathcal{X} $ 上の自己随伴作用素 $ L_+ $ および $ L_- $ に理論を適用し、有限離散スペクトルおよび正の本質的スペクトルを仮定。
• 作用素 $ L_- $ の核の直交補空間への射影を用いて制約付きヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ を定義し、$ K $ の逆行列の存在を保証。
• スペクトル安定性を線形化ハミルトニアン系の一般化固有値問題に写像するために、関係式 $ \gamma = -\lambda^2 $ を用いる。
• シルベスターの慣性法則とクレイン符号を用いて、作用素 $ A $ の負の固有値の数と不安定モードの関係を確立。
• ポントリャーギン空間の幾何的分解を用いて、孤立固有値の総数の上限を評価し、絶対連続スペクトルを分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動エネルギー作用素 $ K $ が正定値でない場合、一般化固有値問題における不安定固有値の数をどのように数えることができるか。
• RQ2 $ L_+ $ の負のスペクトルと線形化ハミルトニアン系の不安定固有値との間の関係は何か。
• RQ3 絶対連続スペクトルの構造が、ハミルトニアンPDEにおける非線形波の安定性にどのように影響するか。
• RQ4 ポントリャーギン空間における不変部分空間理論を、埋め込まれた固有値を有する無限次元系へ拡張可能か。
• RQ5 非勾配型力学を有するハミルトニアン系、例えばKdV型方程式に対して、モース指数理論をどの程度一般化できるか。

主な発見

• 不安定および潜在的に不安定な固有値の数は、自己随伴作用素 $ L_+ $ の負の固有値の数、すなわち $ n(L_+) $ に等しい。
• 一般化固有値問題の孤立固有値の総数は、$ L_+ $ および $ L_- $ の孤立固有値総数によって上から抑えられる。
• 不定内積に対応する二次形式は、一般化固有値問題の絶対連続スペクトルに対応する部分空間上で正に定符号である。
• 五次KdV方程式に対しては、$ \frac{d}{dc}\|\phi\|^2_{L^2} $ の符号を用いて安定性基準が導出され、$ n(L_-) = 1 $ のとき $ N_{\text{real}} = 1 - N_{\text{zero}}^{-} $ が成り立つ。
• 理論は、NLSおよびKdVソリトンに関する先行研究を回復・拡張し、複素および純虚数固有値を含む場合も含む。
• 線形化ハミルトニアンの正の固有値の数に関する新しい不等式が得られ、慣性法則が不定計量空間へ一般化される。