[論文レビュー] Countable ordinal spaces and compact countable subsets of a metric space

Borys Álvarez-Samaniego, Andrés Merino|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Advanced Topology and Set Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合が、可算順序数に位相的に同相であることを確立している。これは、古典的なMazurkiewiczとSierpinskiの結果をユークリッド空間から任意の距離空間へ拡張したものである。順序数の超限帰納法とCantor-Bendixsonの導出を用いて、任意の距離空間におけるこのような部分集合の位相的同型類の数は高々 ℵ₁ 個であることを証明し、可算および非可算空間の両方において、この上限がタイトである例を構成している。

ABSTRACT

We show in detail that every compact countable subset of a metric space is homeomorphic to a countable ordinal number, which extends a result given by Mazurkiewicz and Sierpinski for finite-dimensional Euclidean spaces. In order to achieve this goal, we use Transfinite Induction to construct a specific homeomorphism. In addition, we prove that for all metric space $(E,d)$, the cardinality of the set of all the equivalence classes $\mathscr{K}_E$, up to homeomorphisms, of compact countable subsets of $E$ is less than or equal to $\aleph_1$, i.e. $|\mathscr{K}_E| \le \aleph_1$. We also show that for all cardinal number $κ$ smaller than or equal to $\aleph_1$, there exists a metric space $(E_κ, d_κ)$ such that $|\mathscr{K}_{E_κ}|= κ$.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間におけるコンパクトで可算な部分集合が可算順序数に位相的に同型であるという、古典的なMazurkiewiczとSierpinskiの結果を、任意の距離空間へ拡張すること。
• 順序数の超限帰納法とCantor-Bendixsonの導出を用いて、距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合の構造を特徴づけること。
• 任意の距離空間における、コンパクトで可算な部分集合の同型類の集合の最大可能な濃度を特定すること。
• コンパクトで可算な部分集合の同型類の濃度がちょうど κ であるような、すべての可能な濃度 κ ≤ ℵ₁ を実現する距離空間を構成すること。

提案手法

• Cantor-Bendixsonの導出プロセスに対して順序数の超限帰納法を用いて、任意の距離空間のコンパクトで可算な部分集合と可算順序数との間に位相的同型を構成すること。
• 可算な閉集合 D に対して、Cantor-Bendixson特性 (α, p) を定義する。ここで α は D^(α) が有限集合になる最小の順序数であり、|D^(α)| = p である。
• Cantor-Bendixson特性を用いて、コンパクトで可算な部分集合を同型類で分類し、2つの集合が同型であるための必要十分条件が同じ特性を持つことであることを示す。
• 各同型類にそのCantor-Bendixson特性を割り当てる写像が単射であることを証明し、同型類の数が |ω₁ × ω| = ℵ₁ で抑えられることを示す。
• 具体的な距離空間を構成する：有限な同型類数の場合は有限離散空間、可算な同型類数（例：ℚ）の場合は可算離散空間、非可算な同型類数の場合は非可算離散空間。
• ℝ における ℚ の稠密性を用いて、ℚ が互いに位相的に同型でない ℵ₁ 個のコンパクトで可算な部分集合を含み、それぞれが異なるCantor-Bendixson特性を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合は、順序位相を備えた可算順序数に位相的同型に埋め込めるか？
• RQ2 距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合の同型類の最大可能な数は何か？
• RQ3 濃度 κ ≤ ℵ₁ に対して、コンパクトで可算な部分集合の同型類の集合の濃度がちょうど κ であるような距離空間が存在するか？
• RQ4 Cantor-Bendixsonの導出プロセスは、距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合を完全に分類できるか？

主な発見

• 任意の距離空間におけるコンパクトで可算な部分集合は、可算順序数に位相的に同型である。これは、MazurkiewiczとSierpinskiの結果をユークリッド空間から任意の距離空間へ一般化したものである。
• 任意の距離空間 (E,d) におけるコンパクトで可算な部分集合の同型類の集合の濃度は高々 ℵ₁ である。すなわち、|𝒦_E| ≤ ℵ₁ である。
• 任意の有限 n ∈ ω に対して、|𝒦_{E_n}| = n となる距離空間 (E_n, d_n) が存在する。これは有限離散空間によって達成される。
• 可算な距離空間（例：通常の距離を備えた ℚ）が存在し、|𝒦_ℚ| = ℵ₁ である。これにより、上限 ℵ₁ がタイトであることが示される。
• 非可算な距離空間（例：離散距離を備えた ℝ）が存在し、|𝒦_ℝ| = ℵ₀ である。これにより、環境空間が非可算であっても同型類が非可算個存在するとは限らないことが示される。
• Cantor-Bendixson特性 (α, p) は、コンパクトで可算な部分集合の同型類を完全に分類する：2つの集合が同型であるための必要十分条件は、同じ特性を持つことである。