[論文レビュー] Countably-Normed Spaces, Their Dual, and the Gaussian Measure

Jeremy J. Becnel|ArXiv.org|Jul 12, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、可算ノルム付き空間とその位相を用いて核空間の双対空間上にガウス測度を構成する理論的基盤を確立する。弱位相、強位相、帰納位相が生成するσ-代数が一致することを証明し、ミンロスの定理を用いて、白 noise 分析の基盤となる一意な標準ガウス測度（ホワイトノイズ測度）を双対空間上に構成できる。

ABSTRACT

Here we present an overview of countably-normed spaces. We discuss the main topologies--weak, strong, and inductive--placed on the dual of a countably-normed space and discuss the sigma-fields generated by these topologies. In particular, we show that under certain conditions the strong and inductive topologies coincide and the sigma-fields generated by the weak, strong, and inductive topologies are equal. With these sigma-fields, we develop a Gaussian measure on the dual of a nuclear space. The purpose in mind is to provide the background material for many of the results used is White Noise Analysis.

研究の動機と目的

• 無限次元双対空間上でのガウス測度を定義するための位相的および測度論的枠組みを構築すること。
• 可算ノルム付き空間の双対空間における弱位相、強位相、帰納位相が生成するσ-代数が、ある条件下で一致することを示すこと。
• ヒルベルト＝シュミット作用素と正規直交基底を用いて、核空間の双対空間上に一意な標準ガウス測度を構成すること。
• 無限次元確率論および確率過程におけるホワイトノイズ解析に必要な基礎的道具を提供すること。

提案手法

• 正定値ヒルベルト＝シュミット作用素によって誘導される単調に減少するノルムを持つヒルベルト空間の交わりとして可算ノルム付き空間を定義する。
• 双対空間に弱位相、強位相、帰納位相を導入し、核空間性の条件下でそれらが生成するσ-代数が一致することを証明する。
• 各座標に独立な標準ガウス分布を割り当てたℝ^W上に積ガウス測度νを構成し、重み付き和のモーメントが有限であることを保証する。
• 元のヒルベルト空間Eの正規直交基底{e_j}によって誘導される同型写像を介して、測度νを双対空間ℰ′に持ち込む。
• 座標射影の引き戻しを用いてℰ′上のσ-代数を定義し、これは弱位相に対応し、強位相および帰納位相が生成するσ-代数と一致することを示す。
• ミンロスの定理を適用し、評価汎関数∫e^{it⟨f,e_j⟩}dμ(f) = e^{-t²/2}を満たすℰ′上に一意な確率測度μの存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算ノルム付き空間の双対空間における強位相と帰納位相が一致する条件は何か？
• RQ2 核空間の双対空間における弱位相、強位相、帰納位相が生成するσ-代数の関係は何か？
• RQ3 ヒルベルト＝シュミット作用素から生じる核空間の双対空間上に、ガウス測度を一貫して定義する方法は何か？
• RQ4 正規直交基底およびヒルベルト＝シュミット埋め込みがホワイトノイズ測度を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ℝ^Wから双対核空間上に引き戻された積ガウス測度が、なぜwell-definedな確率測度となるのか？

主な発見

• 核空間性が成り立つとき、可算ノルム付き空間の双対空間における強位相と帰納位相は一致する。これは、単調に減少するヒルベルト空間ノルムの構造によって示される。
• 核空間の双対空間における弱位相、強位相、帰納位相が生成するσ-代数は一致するため、一貫性のある測度論的枠組みが得られる。
• 各評価汎関数f ↦ f(e_j)の特性関数がe^{-t²/2}となる一意な標準ガウス測度μが双対空間ℰ′上に存在し、これは標準ガウス性を満たす。
• 測度μはすべてのp ≥ 1に対してF_{-p}に台を持つ。これは、双対空間が重みλ_j^{2p}を伴う重み付きℓ²空間にほとんど確実に含まれることを意味する。
• Eとℰ′上の平方可積分汎関数空間との間の標準的同型写像を実現することで、ホワイトノイズ解析の厳密な基盤が提供される。
• 得られた測度μは、すべてのξ ∈ Eおよびt ∈ ℝに対して∫e^{it⟨f,ξ⟩}dμ(f) = e^{-t²|ξ|²/2}を満たす標準ホワイトノイズ測度である。