[論文レビュー] Counter-examples of high Clifford index to Prym-Torelli

Elham Izadi, Herbert Lange|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線のエタール二重被覆に付随するtetragonal構成を用いて、任意に高いクリフォード指数をもつ曲線に対するPrym-Torelli定理の反例を構成する。曲線に $n$ 次の射影が存在する基底曲線 $Y$ への $n$-シート被覆を用い、明示的な同種写像とコhomology計算により、特定のPrym多様体内の曲線が最小クラスの倍数を表すことを示す。この結果、任意の与えられた上限を超えるクリフォード指数を持つ曲線に対しても、Prym写像が単射でないことが示される。

ABSTRACT

We give examples of curves of arbitrarily high Clifford index such that the Prym map is not injective at any of their étale double covers.

研究の動機と目的

• エタール二重被覆の曲線がクリフォード指数 ≥ 3 をもつ場合、Prym写像が単射であるという予想を反証すること。
• 任意に高いクリフォード指数をもつ例を明示的に構成し、Prym写像が単射でない場合を示すこと。
• ドナギのtetragonal構成を $\mathbb{P}^1$ に限らない任意の基底曲線 $Y$ に一般化し、関連するPrym多様体の同型を証明すること。
• Prym多様体内の曲線のコhomology類を研究し、それらが最小クラス $[\Theta]^{g-2}/(g-2)!$ の倍数を表すことを示すこと。
• ドナギの定理（tetragonal構成におけるPrym多様体の同型）を、任意の基底曲線 $Y$ に対して成り立つ明示的で新しい証明を与えること。

提案手法

• 曲線の塔 $\widetilde{X} \xrightarrow{\kappa} X \xrightarrow{\rho_n} Y$ を構成し、$\kappa$ を分岐のない二重被覆、$\rho_n$ を単純分岐の $n$-シート被覆とする。
• 曲線 $\widetilde{C} \subset \widetilde{X}^{(n)}$ を、$\widetilde{X}^{(n)} \to X^{(n)}$ と $Y \to X^{(n)}$ のファイバー積として定義し、$Y$ の点の $\widetilde{X}$ 上への上げをパラメトライズする。
• $\widetilde{C}$ 上の対合 $\sigma$ を用いて、$\widetilde{C}$ を二つの成分 $\widetilde{C}_1$ と $\widetilde{C}_2$ に分解し、それぞれがtetragonal構成によってPrym多様体を導く。
• Prym多様体 $P$（$\kappa: \widetilde{X} \to X$ に対応）と一般化されたPrym $P_\nu$（$\widetilde{X}_\nu \to X_\nu$ に対応）の間に、次数 $2^{ng_Y - 1}$ の核をもつ同種写像 $\alpha: P \to P_\nu$ を確立する。
• 同種写像 $\alpha$ が $\alpha^*\Theta_{P_\nu} = 2\Theta_P$ を満たすことを証明し、双対同種写像 $\beta: P_\nu \to P$ が $\beta^*\Theta_P = 2\Theta_{P_\nu}$ を満たすことを示す。
• ポアンカレ双対性と次数計算を用いて、コhomology類のプッシュフォワードを関連付け、最終的に $[\widetilde{C}_i] = 2^{n-1} \frac{[\Theta_P]^{g_X - 2}}{(g_X - 2)!}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール二重被覆の曲線がクリフォード指数 ≥ 3 をもつ場合、Prym写像は一般に単射か？
• RQ2 基底曲線 $Y$ が $\mathbb{P}^1$ でない場合でも、tetragonal構成を一般化し、同型なPrym多様体を生成できるか？
• RQ3 Prym多様体内の曲線は、最小コhomologyクラス $[\Theta]^{g-2}/(g-2)!$ の倍数を表すか？
• RQ4 対応理論を用いて、Prym多様体間の明示的な同種写像を構成し、それが同型であることを示せるか？
• RQ5 Prym多様体 $P$ 内での $\widetilde{C}_i$ の像の正確なコhomologyクラスは何か？

主な発見

• 任意の整数 $N$ に対して、クリフォード指数が $N$ 以上である曲線 $X$ が存在し、$X$ の任意のエタール二重被覆においてPrym写像が単射でないことを示し、クリフォード指数が高いと単射性が保証されるという予想を反証する。
• 曲線 $\widetilde{C} \subset \widetilde{X}^{(n)}$ の二つの成分 $\widetilde{C}_1$ と $\widetilde{C}_2$ に対応するPrym多様体は、小規模な一般性仮定のもとで同型である。これは $Y$ が $\mathbb{P}^1$ でない場合でも成り立つ。
• 同種写像 $\alpha: P \to P_\nu$ の次数は $2^{ng_Y - 1}$ であり、その双対 $\beta$ は $\beta^*\Theta_P = 2\Theta_{P_\nu}$ を満たす。これにより、プッシュフォワードの明確なコhomology計算が可能になる。
• Prym多様体 $P$ 内での $\widetilde{C}_i$ の像のクラスは $[\widetilde{C}_i] = 2^{n-1} \frac{[\Theta_P]^{g_X - 2}}{(g_X - 2)!}$ に等しく、最小クラスの倍数を表していることが示される。
• Prym多様体の同型を示す証明は、$Y = \mathbb{P}^1$ の場合にドナギの定理を再び証明する第三の証明を与える。これは退化法やコhomology的手法とは独立である。
• この構成は任意の $n \geq 3$ に対して有効であり、tetragonal構成を高次被覆に一般化し、制御されたコhomologyクラスを持つPrym多様体内の曲線を生成する。