[論文レビュー] Counter Machines and Distributed Automata: A Story about Exchanging Space and Time

Olivier Carton, Bruno Guillon+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Cellular Automata and Applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、和を含まない（コピー操作を有する）および和を含む（和操作を有する）2種類のカウンターマシンと、有向パスグラフ上で動作する分散オートマトンのクラスとの間で、表現的同等性を確立している。空間と時間の双対性を活用することで、線形空間と時間nを用いるカウンターマシンが、状態遷移履歴を符号化するカウンタを用いた有限状態シミュレーションにより、nの空間と線形時間を使う分散オートマトンと同一の言語を認識できることを示している。

ABSTRACT

We prove the equivalence of two classes of counter machines and one class of distributed automata. Our counter machines operate on finite words, which they read from left to right while incrementing or decrementing a fixed number of counters. The two classes differ in the extra features they offer: one allows to copy counter values, whereas the other allows to compute copyless sums of counters. Our distributed automata, on the other hand, operate on directed path graphs that represent words. All nodes of a path synchronously execute the same finite-state machine, whose state diagram must be acyclic except for self-loops, and each node receives as input the state of its direct predecessor. These devices form a subclass of linear-time one-way cellular automata.

研究の動機と目的

• 制限付きの操作（和を含まない対比して和を含む）を有するカウンターマシンと、準アセイクルな状態遷移を有する分散オートマトンの表現的力を調査すること。
• 逐次的カウンターマシンにおける空間使用と分散オートマトンにおける時間使用との間の双対性を探ること。
• カウンターマシンがカウンタ値へのアクセスを制限した状態で、分散オートマトンの挙動をシミュレートすることにより、これらのモデルの間の正式な対応関係を確立すること。
• 両方のカウンターマシンの変種と分散オートマトンモデルが、同一の言語クラスを認識することを示すこと。
• 細胞オートマトンおよび一方向オートマトンにおける言語認識の理解を深めるために、それらをカウンターマシンモデルと関連付けること。

提案手法

• 入力語の表現としてのパスグラフ上で動作する準アセイクルな分散オートマトンAの挙動をシミュレートするカウンターマシンMを構築する。
• Aの各ノードが経由する無限状態列を、値が1、∞、またはカウンタ変数であるペア（状態、値）の有限列として表現する。
• 各状態が状態遷移列に現れる回数をカウンタで符号化し、空間使用量を制限するために値をℓで切り捨てて使用する。
• 現在の状態とℓで切り捨てたカウンタ値を入力として、次の状態と更新関数ξを出力する遷移関数τを定義し、コピーなしの更新を保証する。
• 各カウンタ変数が更新ごとに高々1回しか使用されないよう保証し、コピーなしの性質を維持する。また、式に現れる加法的定数はすべてℓ以下に制限する。
• ℓによる切り捨ての下で、導出された状態列がオートマトンの挙動と一致することを示すことにより、シミュレーションが言語認識を正しく保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和を含まないカウンターマシン（コピー操作を有する）と和を含むカウンターマシン（和操作を有する）は、両者ともカウンタ値の線形増加に制限された場合に、同一の言語を認識できるか？
• RQ2 逐次的カウンターマシンにおける空間使用と分散オートマトンにおける時間使用との間に、形式的な双対性が存在するか？
• RQ3 準アセイクルな状態図を有する分散オートマトンは、カウンタ値へのアクセスを制限し、コピーなしの更新を行うカウンターマシンによってシミュレート可能か？
• RQ4 準アセイクルな状態図を有する分散オートマトンの言語認識における表現的力は何か？
• RQ5 パスグラフ上で動作する分散オートマトンの挙動は、カウンタを備えた有限状態機械にどのように符号化できるか？

主な発見

• カウンタ値へのアクセスが制限された和を含まないおよび和を含むカウンターマシンは、表現的に同等であり、同一の言語クラスを認識する。
• 準アセイクルな状態図を有する分散オートマトンは、コピーなしカウンターマシンによってシミュレート可能であり、言語認識が保たれる。
• シミュレーションでは、分散オートマトン実行におけるループ状態の出現回数をカウンタで符号化し、空間使用量を保証するために値をℓで切り捨てている。
• カウンターマシンの遷移関数はコピーなしであり、各カウンタ変数が更新ごとに高々1回しか使用されず、加法的定数はすべてℓ以下に制限されている。
• 構成により、分散オートマトンが認識する言語が、カウンターマシンが受容する言語と正確に一致することが保証されている。
• 空間と時間の双対性が形式化されている：カウンターマシンは時間nとnに比例する空間を使用するが、分散オートマトンは空間nと線形時間を使用し、同等の表現的力を持つ。