[論文レビュー] Counterexamples for Local Isometric Embedding

Nikolaï Nadirashvili, Yu Yuan|ArXiv.org|Aug 16, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2次元球板 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上に滑らかなリーマン計量を構成し、そのガウス曲率が非正または符号が変わるが、$\mathbb{R}^3$ 内に局所的 $C^3$ または $C^{3,\alpha}$ 同相埋め込みをもたないものである。構成法は原点付近での平坦計量の再帰的かつスケール不変な変形に依拠し、原点および入れ子になった円形領域上での第二基本形式を 0 に固定することで、仮にこのような埋め込みが存在すると仮定した場合、最大原理により矛盾が生じる。

ABSTRACT

We construct smooth metrics on 2-manifold with nonpositive Gauss curvature which cannot be (C^3) locally isometrically embedded in R^3. Moreover, the Gauss curvature of the metric can be made negative except for one point.

研究の動機と目的

• 2次元球板 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上に、非正ガウス曲率を持つが、$\mathbb{R}^3$ 内に局所的 $C^3$ 同相埋め込みをもたない滑らかな計量の存在を示すこと。
• 従来の反例を拡張し、$K_g \leq 0$ かつ $K_g(0) = 0$、$x \neq 0$ で $K_g(x) < 0$ を満たす計量を構成し、それでもなお $C^{3,\alpha}$ 同相埋め込みが不可能であることを示すこと。
• 入れ子になった円形領域に非埋め込み可能な局所計量を再帰的に埋め込むための構成的でスケール不変な方法を提供し、原点付近での全体的な非埋め込み性を保証すること。
• 曲率の符号条件だけでは、$\mathbb{R}^3$ 内に局所的同相埋め込みが保証されないという未解決問題を、有利な曲率仮定のもとでも反例を示すことによって解決すること。

提案手法

• 平坦計量 $dx^2$ を、入れ子になった円形領域 $A^n = B_{1/n} \setminus B_{1/(n+1)}$ 上で滑らかなカットオフ関数 $\varphi_n$ を用いて変形することで、$B_1$ 上に計量 $g = e^{2u} dx^2$ を構成する。
• 修正領域に「テール」を追加することで、全体で $K_g \leq 0$ となるように保証し、同時に局所的非埋め込み性を強制する。
• 再帰的構成法を用いる：各 $n$ に対して、$A^n$ 上で $C^3$-埋め込みが不可能な計量を定義し、摂動振幅 $\mu_n$ をスケーリングすることで、全体計量 $g = e^{2(u_0 + v)}dx^2$ の滑らかさを保証する。
• $\mathbb{R}^3$ 内の仮想の同相埋め込みのグラフ表現 $x_3 = f(x_1,x_2)$ に最大原理を適用する：$\partial\Omega$ 上で $D^2f = 0$ かつ $\Omega$ 内で $\det D^2f < 0$ ならば、$f \equiv 0$ となり、これにより埋め込みの存在が矛盾する。
• $C^{3,\alpha}$ 同相埋め込みノルム $\| (\Omega,g) \|_E = \inf \| II(i(\Omega)) \|_{C^{1,\alpha}}$ を定義し、非埋め込み性を定量的に示し、各円形領域 $A^n$ 上で発散することを示す。
• $\eta_n \to 0$ となる列を用いて、全体計量 $g = g_\Psi$ を構成し、$\| (A^n, g) \|_E \geq n$ となるようにすることで、任意の $r > 0$ に対して原点付近に $C^{3,\alpha}$ 埋め込みが存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上の滑らかな計量 $g$ で、$K_g \leq 0$ を満たすが、$\mathbb{R}^3$ 内に局所的 $C^3$ 同相埋め込みをもたないものがあるか？
• RQ2 $K_g(0) = 0$ かつ $x \neq 0$ で $K_g(x) < 0$ を満たす滑らかな計量が、原点付近で $C^{3,\alpha}$ 同相埋め込みを拒むことがあるか？
• RQ3 非埋め込み可能な局所計量を再帰的に入れ子になった円形領域に埋め込むことで、原点で非埋め込み性を保つ全体計量を構成できるか？
• RQ4 第二基本形式が原点で消えることを仮定した場合、$C^3$ または $C^{3,\alpha}$ 埋め込みが存在すると仮定したとき、最大原理により矛盾が生じるか？
• RQ5 円形領域 $A^n$ 上で $C^{3,\alpha}$ 埋め込みノルムを任意に大きくできるか、これにより、全球的球板 $B_r(0)$ の局所的 $C^{3,\alpha}$ 埋め込みが排除できるか？

主な発見

• $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 上に、$K_g \leq 0$ を満たす滑らかな計量 $g$ が存在し、任意の $r > 0$ に対して $B_r(0)$ の $C^3$ 同相埋め込みが $\mathbb{R}^3$ 内に存在しない。これは定理 1.1 の証明である。
• $B_1$ 上に、$K_g(0) = 0$ かつ $x \neq 0$ で $K_g(x) < 0$ を満たす滑らかな計量 $g$ が存在し、任意の $r > 0$ および $\alpha > 0$ に対して $B_r(0)$ の $C^{3,\alpha}$ 同相埋め込みが $\mathbb{R}^3$ 内に存在しない。これは定理 1.2 の証明である。
• 構成法により、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $\| (A^n, g) \|_E \geq n$ が成り立つ。これは $C^{3,\alpha}$ 埋め込みノルムが発散することを意味し、原点付近にこのような埋め込みが存在できないことを示唆する。
• 全体計量 $g = g_\Psi$ は滑らかで、$B_1$ 上で $K_g \leq 0$ を満たし、$x \neq 0$ で $K_g(x) < 0$、$K_g(0) = 0$ である。これは、曲率条件だけでは局所的 $C^{3,\alpha}$ 埋め込みが保証されないことを確認する。
• 仮に $C^3$ 埋め込みが存在すると仮定した場合に矛盾が生じる：領域 $\Omega$ の境界上での第二基本形式が 0 であり、グラフ関数 $f$ のヘッシアンも $\partial\Omega$ 上で 0 であるため、最大原理により $f \equiv 0$ となる。これは曲率条件 $\det D^2f < 0$ と矛盾する。
• 本手法により、計量は $C^\infty$ であるだけでなく、すべての $\epsilon \in l^\infty$ に対して $\sum_{n=1}^\infty \epsilon_n \varphi_n$ が滑らかになるように構成され、最終的な計量 $g$ の全体的な滑らかさが保証される。