[論文レビュー] Counterexamples to mean square almost periodicity of the solutions of some SDEs with almost periodic coefficients

Omar Mellah, Paul Raynaud de Fitte|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、特定の確率的微分方程式（SDE）の解が、ほとんど周期的係数をもつ場合に、平均平方ほとんど周期的であるという先行研究の主張を反証する。明示的な反例として、定常オーナイジン・ウーレンプ過程と周期的係数をもつ非同次SDEを提示し、長距離自己共分散が消えることと、時間シフトにおけるL²収束の欠如により、解は平均平方ほとんど周期的でないことが示される。一方で、分布に関してはほとんど周期的である。

ABSTRACT

We show that, contrarily to what is claimed in some papers, the nontrivial solutions of some stochastic differential equations with almost periodic coefficients are never mean square almost periodic (but they can be almost periodic in distribution).

研究の動機と目的

• 近年の複数の論文が主張する、ほとんど周期的係数をもつSDEの解が平均平方ほとんど周期的であるという主張を、反証すること。
• 確率過程における平均平方ほとんど周期的性質と分布に関してほとんど周期的であることの違いを明確にすること。
• 平均平方ほとんど周期的性質が成立しないことを示す明示的な反例を提供すること。
• 従来の証明における誤りを特定すること。特に、弱い条件下でも確率的畳み込みが平均平方ほとんど周期的性質を保つと誤って仮定した点。
• 平均平方ほとんど周期的性質が、SDEの解において、分布に関してほとんど周期的であることよりもはるかに強い性質であることを強調すること。

提案手法

• ブラウン運動に関する確率積分を用いて、ほとんど周期的係数をもつ線形SDEの解として定常オーナイジン・ウーレンプ過程を構築する。
• ボホナーの基準を適用して、L²における時間シフト列の収束を分析し、非相関の場合は極限が退化（定数）でなければならないことを示す。
• 極限において非相関のガウス確率変数が独立を意味することを用い、極限が非退化でない場合に矛盾が生じることを示す。
• 時間依存の周期的係数をもつ第二の反例を分析し、時間ラグが増加するにつれて自己共分散がゼロに収束することを示す。
• バーグラー＝デイヴィス＝ギュンディの不等式を用いてL²ノルムの一様可積分性を確立し、緊密性を用いて分布に関してほとんど周期的であることの確認を行う。
• 時間シフトにおける長距離自己共分散の消滅が、非退化なL²極限の存在を矛盾させることから、平均平方ほとんど周期的性質が成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんど周期的係数をもつSDEの解は、近年の複数の論文が主張するように、平均平方ほとんど周期的であるか？
• RQ2 確率過程における平均平方ほとんど周期的性質と分布に関してほとんど周期的であることの関係は何か？
• RQ3 ベザンドリとディアガナ（2010–2013年）の証明は、ほとんど周期的係数をもつSDEの解が平均平方ほとんど周期的であることを正しく確立しているか？
• RQ4 SDEの解において、分布に関してほとんど周期的であることから、平均平方ほとんど周期的であることへと導ける条件は何か？
• RQ5 ほとんど周期的係数をもつ確率的畳み込みが、なぜ平均平方ほとんど周期的性質を保たないのか？

主な発見

• ほとんど周期的係数をもつ定常オーナイジン・ウーレンプ過程は、分布に関してほとんど周期的であるが、平均平方ほとんど周期的ではない。
• 反例において、任意の時刻列 tₙ → ∞ をとると、L²極限は過程の値とは独立になり、極限が定数でなければならない。これは非退化な分散と矛盾する。
• 周期的係数をもつ第二の反例では、Xₜ と Xₜ₊τ 間の長距離自己共分散が τ → ∞ のときゼロに収束する。これは平均平方ほとんど周期的性質に必要な条件を満たさない。
• 従来の研究における誤りは、被積分関数が時間に関してほとんど周期的である場合に、確率的畳み込みが平均平方ほとんど周期的性質を保つと誤って仮定したことにある。
• 著者らは、平均平方ほとんど周期的性質が、分布に関してほとんど周期的であることよりもはるかに強い性質であり、このような解はまれであることを示している。
• 非自明な平均平方ほとんど周期的解をもつSDEの特徴付けは、未解決の問題のまま残っている。