[論文レビュー] Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture

Alexander Kelmans|ArXiv.org|Jul 20, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、1996年にリードが提起した、任意の3正則2連結グラフの支配数が⌈v(G)/3⌉以下であるという予想を、無限個の3正則2連結グラフの列(Rₖ)を構成することで反証した。この列では、支配比ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60であり、kが増加するにつれてv(Rₖ)/3より支配数が任意に大きく超過する。また、連結性1のグラフについても改善された反例を提示し、3連結な3正則グラフに対するより強い予想を提示した。

ABSTRACT

Let v(G) and dom(G) denote the number of vertices and the domination number of a graph G, and let r (G) = dom(G)/v(G)$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two with r(R_k) = 1/3 + 1/60, where v(R(k+1)) > v(R(k)) > v(R(3)) = 60 for k > 3, and so dom(R(3)) = 21$ and dom(R(k)) - ]v(R(k))/3[ tends to infinity when k tends to infinity. We also provide a sequence of (L_s: s > 0) of cubic graphs of connectivity one with r(L(s)) > 1/3 + 1/60. The minimum counterexample L = L(1) in this sequence is `better' than C in the sense that L has 2 bridges while C has 4 bridges, v(L) = 54 < 60 = v(C), and r(L) = 1/3 + 1/54} > 1/3 + 1/60 = r(C). We also give a construction providing for every t in {0,1,2} infinitely many cubic cyclically 4-connected Hamiltonian graphs G(t) such that v(G(t)) = t mod 3, t in {0,2} implies dom(G(t)) = ]v(G(r))/3[, and t = 1 implies dom(G(t)) = [v(G(r))/3]. At last we suggest a stronger conjecture on domination in cubic 3-connected graphs.

研究の動機と目的

• すべての3正則2連結グラフについてγ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉であるとされたリードの1996年予想を反証すること。
• 支配比が厳密に1/3を超えるような3正則グラフの明示的族を構成し、予想された上限が誤りであることを示すこと。
• ブリッジ数を減らし、頂点数を減らしながら支配比を向上させることで、先行の反例を改善すること。
• 特に3連結性の条件下で、3正則グラフにおける支配数の境界のタイトさを検討すること。
• 頂点数を3で割った余りに基づいて、3正則3連結グラフにおける支配数に関するより強い、洗練された予想を提示すること。

提案手法

• v(Rₖ+1) > v(Rₖ) > 60 かつ ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60 を満たす、3正則2連結グラフの無限列(Rₖ: k ≥ 3)を構成する。
• 辺や頂点を特定の部分グラフ（例：H, U）に置き換えるグラフ置換操作を用い、3正則性と連結性を維持する。
• 帰納法と構造的解析を用いて、v(Rₖ) = 6k のとき γ(Rₖ) = 2k+1 であることを証明し、k → ∞ のとき γ(Rₖ) − ⌈v(Rₖ)/3⌉ → ∞ となることを示す。
• 支配比ρ(Lᵣ) = 7/20 + 1/(200r + 340) で、7/20に収束する、3正則連結性1のグラフの新しい列(Lᵣ: r ≥ 1)を導入する。
• v(Gᵣ) ≡ r mod 3 かつ r ∈ {0,1,2} のとき、γ(Gᵣ) = ⌈v(Gᵣ)/3⌉ または ⌊v(Gᵣ)/3⌋ となる、巡回的に4連結でハミルトン的な3正則グラフの無限族(Gᵣ)を構成する。
• 3正則3連結グラフについて、v(G) ≠ 1 mod 3 のとき γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉ であり、v(G) ≡ 1 mod 3 のとき γ(G) ≤ ⌊v(G)/3⌋ であるという、新しい予想（3.5）を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リードの予想、すなわちすべての3正則2連結グラフについてγ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉ が成り立つかどうかを反証できるか？
• RQ2 3正則2連結グラフにおける支配比の最小値は何か？ 1/3を超えることは可能か？
• RQ3 連結性1の3正則グラフについて、ブリッジ数と次数を減らした反例を構成できるか？
• RQ4 頂点数を3で割った余りに基づいて、支配数を制御できる巡回的に4連結でハミルトン的な3正則グラフの無限族は存在するか？
• RQ5 3正則3連結グラフにおける支配数に対して、より強く、より精密な境界は存在するか？

主な発見

• 本論文は、ρ(Rₖ) = 1/3 + 1/60 を満たす3正則2連結グラフの無限列(Rₖ)を構成し、k → ∞ のとき γ(Rₖ) − ⌈v(Rₖ)/3⌉ → ∞ であることを証明した。
• 最小の2連結反例R₃はv(R₃) = 60、γ(R₃) = 21 であり、ρ(R₃) = 7/20 = 1/3 + 1/60 である。
• 連結性1のグラフに対する新しい反例L₁は、v(L₁) = 54、ブリッジが2つ、ρ(L₁) = 1/3 + 1/54 > 1/3 + 1/60 = ρ(C) であり、以前の最小反例Cを改善した。
• 各r ∈ {0,1,2} に対して、v(Gᵣ) ≡ r mod 3 かつ r ∈ {0,2} のとき γ(Gᵣ) = ⌈v(Gᵣ)/3⌉、r = 1 のとき γ(Gᵣ) = ⌊v(Gᵣ)/3⌋ となる、巡回的に4連結でハミルトン的な3正則グラフの無限族Gᵣを構成した。
• 提案された予想3.5は、3正則3連結グラフについて、v(G) ≠ 1 mod 3 のとき γ(G) ≤ ⌈v(G)/3⌉、v(G) ≡ 1 mod 3 のとき γ(G) ≤ ⌊v(G)/3⌋ であると述べており、これはタイトであり、ハミルトングラフに関する既知の結果とも整合している。