[論文レビュー] Counterexamples to the regularity of Mane projections and global attractors

A. Eden, Varga Kalanarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スペクトルギャップ条件が成立しない場合の抽象的非線形放物型方程式における Mane 投影およびグローバルアトラクターの正則性に対する反例を構成する。この条件下では、グローバルアトラクターがいかなる有限次元 Log-Lipschitz多様体にも埋め込めず、したがって Bi-Lipschitz または Bi-Log-Lipschitz の Mane 投影を持たないことが示される。これは、有限回滑らかな非線形項および有限ハウスドルフ次元を有するが、無限次元のフラクタル次元を有する場合でさえ成り立つ。

ABSTRACT

We study the global attractors of abstract semilinear parabolic equations and their projections to finite-dimensional planes. It is well-known that the attractor can be embedded into the finite-dimensional inertial manifold if the so-called spectral gap condition is satisfied. We show that in the case when the spectral gap condition is violated, it is possible to construct the nonlinearity in such way that the corresponding attractor cannot be embedded into any finite-dimensional Log-Lipschitz manifold and, therefore, does not possess any Mane projections with Log-Lipschitz inverse. In addition, we give an example of finitely smooth nonlinearity such that the attractor has finite Hausdorff but infinite fractal dimension.

研究の動機と目的

• スペクトルギャップ条件が成立しない場合のグローバルアトラクターに対する Mane 投影の正則性を調査すること。
• インertラル多様体が存在しない場合に、グローバルアトラクターが有限次元 Log-Lipschitz多様体に埋め込めるかどうかを特定すること。
• 有限ハウスドルフ次元だが無限フラクタル次元を有するアトラクターをもたらす、明示的な有限回滑らかな非線形項の例を構成すること。
• 抽象的関数モデルの限界を、力学系理論における滑らかな有限次元還元の正則性の観点から明確化すること。
• このようなアトラクター上の力学系が、R^N のコンact部分集合上の滑らかな力学系に共役可能かどうかを検討すること。

提案手法

• スペクトルギャップ条件が破られるような抽象的非線形放物型方程式における非線形項の構成。
• 線形作用素 A のスペクトル性質と非線形写像 F の性質を用いて、アトラクターが有限ハウスドルフ次元だが無限フラクタル次元を有することを保証する。
• Mane 投影定理およびその改善版を用いて、アトラクター上での逆投影 P^{-1} の正則性を分析する。
• 構築された反例のもとで、逆 Mane 投影が指数が 1 に近い Hölder 継続的でないだけでなく、Log-Lipschitz でもないことを証明する。
• アトラクター上での Poincaré 写像の構造を分析し、l_2(Z) 上でのシフト作用素に類似していることから、滑らかでない埋め込みが生じることを示す。
• log-凸性および後向き一意性定理を用いて、アトラクター上での 1/2-Log-Lipschitz の鋭い評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルギャップ条件が破られる場合、グローバルアトラクターは有限次元 Log-Lipschitz多様体に埋め込めるか？
• RQ2 有限回滑らかな非線形項を構成し、そのグローバルアトラクターが有限ハウスドルフ次元だが無限フラクタル次元を有するようにすることは可能か？
• RQ3 抽象的関数モデルの手法が Mane 投影の正則性を保証する上で、どのような限界を有するか？
• RQ4 このようなアトラクター上の力学系は、R^N のコンパクト部分集合上の滑らかな力学系に共役可能か？
• RQ5 Bi-Lipschitz または Bi-Log-Lipschitz の Mane 投影が存在しないことは、力学系が本質的に非滑らかまたは無限次元的であることを示唆するか？

主な発見

• スペクトルギャップ条件が破られる場合、いかなる有限次元 Log-Lipschitz多様体に対してもアトラクターは埋め込めない。
• 有限回滑らかな非線形項が存在し、そのグローバルアトラクターは有限ハウスドルフ次元だが無限フラクタル次元を有する。
• 逆 Mane 投影 P^{-1} は、Bi-Lipschitz または Bi-Log-Lipschitz ではないが、指数が 1 に限りなく近い Hölder 継続的である。
• アトラクター上での鋭い 1/2-Log-Lipschitz 界が達成され、この指数は改善できない。
• アトラクター上の力学系は、位相的に単純（例えば、双曲的平衡点を有する1つの極限円周）であるが、Hölder 継続的同相写像による滑らかな力学系への共役は不可能である。
• 反例により、スペクトルギャップ条件はインバリアント多様体の存在に加え、Mane 投影における Lipschitz や Log-Lipschitz の正則性の存在に対しても本質的であることが示された。