[論文レビュー] Counting all equilateral triangles in {0,1,2,...,n}^3

Eugen J. Ionaşcu|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何学的および数論的制約から導かれるディオファントス方程式のパラメータ解を用いて、整数格子 {0,1,...,n}³ に頂点をもつ正三角形を列挙する計算手法を提示する。著者らは Maple を用いてアルゴリズムを実装し、n=1 から 55 まで ET(n) を計算し、limₙ→∞ ln ET(n)/ln(n+1) が存在すると仮説を立て、ある定数 C に対して (n+1)^C の程度の多項式的成長率を示唆する。

ABSTRACT

We describe a procedure of counting all equilateral triangles in the three dimensional space whose coordinates are allowed only in the set $\{0,1,...,n\}$. This sequence is denoted here by ET(n) and it has the entry A102698 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences". The procedure is implemented in Maple and its main idea is based on the results in \cite{eji}. Using this we calculated the values ET(n) for n=1..55 which are included here. Some facts and conjectures about this sequence are stated. The main of them is that $\ds \lim_{n o \infty} \frac{\ln ET(n)}{\ln n+1}$ exists.

研究の動機と目的

• 整数格子 {0,1,...,n}³ に制限されたすべての正三角形を体系的に数えること。
• ℤ³ 内の正三角形の数論的パラメータ化に基づく計算手順を開発すること。
• n=1 から 55 まで ET(n) を計算し、その列の成長挙動を分析すること。
• ET(n) の漸近的成長率を調査し、limₙ→∞ ln ET(n)/ln(n+1) = C の存在を仮説すること。

提案手法

• 定理 1.1 を用いて、ℤ³ 内の正三角形の辺の長さを √[2(m²−mn+n²)] として特徴付ける。
• 定理 1.2 を用いて、a²+b²+c²=3d² を満たすすべての整数解 (a,b,c,d) を生成し、それらがこのような三角形を含む平面の法線ベクトルを定義する。
• 定理 1.3 を用いて、与えられた平面内のすべての三角形を整数パラメータ m,n および 2(a²+b²)=s²+3r² の解 (r,s) を用いてパラメータ表示する。
• 最小三角形の有効な平行移動および回転の数を、Maple における再帰的手続きで計算する。
• 重複カウントを避けるために、並進 T(T)、交差 T(T)、交差スカラー T(T) などの幾何的不変量を用いる。
• すべての有効な (a,b,c,d) および (r,s) 組み合わせからの寄与を組み合わせ、ET(n) を n の多項式項の和として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた n に対して、3次元整数格子 {0,1,...,n}³ に頂点をもつ正三角形の正確な数は何か？
• RQ2 数論的パラメータ化を用いて、このようなすべての三角形を体系的に生成する方法は何か？
• RQ3 n→∞ のとき、そのような三角形の数 ET(n) の漸近的成長率は何か？
• RQ4 limₙ→∞ ln ET(n)/ln(n+1) は存在するか？もし存在するならば、その値は何か？

主な発見

• 著者らは n=1 から 55 まで ET(n) を計算し、n=1 のとき 8、n=55 のとき 488,902,856 に達する。
• ET(n) の列は任意の立方多項式よりも速く成長するが、(n+1)^5 で有界であるように見えることから、すべての n に対して ET(n) ≤ (n+1)^5 が成り立つと示唆される。
• 数値的に、aₙ = ln ET(n)/ln(n+1) は増加しており、上界が 5 で有界であることが観察され、有限極限の存在を支持する。
• ET(n) の成長は、ζ = n−1 を変数として、各新しい n が uₙ(ζ−n+1)^3 + vₙ(ζ−n+1)^2 + wₙ(ζ−n+1) + sₙ の形の項を追加することによってモデル化される。
• パラメータ化における簡略化仮定の反例が発見されたが、d が奇数で 4096 以下、かつ gcd(a,b,c)=1 の場合、メソッドは依然として有効である。
• 著者らは limₙ→∞ ln ET(n)/ln(n+1) = C が存在すると仮説を立て、ある定数 C に対して (n+1)^C の正確な多項式的成長率を示唆する。