[論文レビュー] Counting and Sampling from Markov Equivalent DAGs Using Clique Trees

AmirEmad Ghassami, Saber Salehkaleybar+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有向無閉路グラフ（DAG）のマルコフ同値クラス（MEC）の数え上げと一様分布サンプリングのための新規なクリークツリーに基づく手法を提案する。この手法により、MECのサイズの効率的計算と、同値クラス内におけるDAGの確率的列挙が可能となる。本手法は、次数が有界なグラフに対して多項式時間の計算量を達成し、因果推論や事前知識を用いた実験設計への応用を支援する。

ABSTRACT

A directed acyclic graph (DAG) is the most common graphical model for representing causal relationships among a set of variables. When restricted to using only observational data, the structure of the ground truth DAG is identifiable only up to Markov equivalence, based on conditional independence relations among the variables. Therefore, the number of DAGs equivalent to the ground truth DAG is an indicator of the causal complexity of the underlying structure--roughly speaking, it shows how many interventions or how much additional information is further needed to recover the underlying DAG. In this paper, we propose a new technique for counting the number of DAGs in a Markov equivalence class. Our approach is based on the clique tree representation of chordal graphs. We show that in the case of bounded degree graphs, the proposed algorithm is polynomial time. We further demonstrate that this technique can be utilized for uniform sampling from a Markov equivalence class, which provides a stochastic way to enumerate DAGs in the equivalence class and may be needed for finding the best DAG or for causal inference given the equivalence class as input. We also extend our counting and sampling method to the case where prior knowledge about the underlying DAG is available, and present applications of this extension in causal experiment design and estimating the causal effect of joint interventions.

研究の動機と目的

• マーティン同値クラス（MEC）に含まれるDAGの数を体系的に数える手法を開発すること。これは因果構造の複雑さを測る指標である。
• 因果推論および構造学習のためのMECからの一様サンプリングを可能にし、マルコフ連鎖法の収束問題を回避すること。
• 因果構造の事前知識を統合できるフレームワークを拡張し、より良い因果実験設計および連携干渉効果の推定を可能にすること。
• 特に次数が有界なグラフに対して、従来の再帰的公式やマルコフ連鎖法の代替として計算が効率的な手法を提供すること。

提案手法

• 弦的グラフのクリークツリー表現を用いて、本質的グラフにおけるエッジの方向付けを体系的に探索し、チェーンコンポーネントの再帰的分解を活用する。
• 各チェーンコンポーネントにルート頂点を固定することで再帰的にMECのサイズを計算し、最大次数が減少した部分グラフに対してサイズ計算を適用する。
• クリークツリーの構造を活用してグラフをより小さなコンポーネントに分割し、並列処理およびメモリ効率の良い計算を実現する。
• 部分グラフのサイズに比例する確率を割り当てることで一様サンプリングを達成し、MEC内の各DAGが等確率で選択されるようにする。
• 既知のエッジの方向付けや構造的制約を条件として取り入れることで、事前知識を統合し、数え上げおよびサンプリングフレームワークを拡張する。
• 計算量解析により、次数が有界なグラフに対して多項式時間の性能を示し、サイズ計算の時間計算量はO(p^{Δ+2})、サンプリングの時間計算量はO(Δp^{Δ+2})である。ここでpは頂点数、Δは最大次数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数が有界なグラフに対して、特にマーティン同値クラス（MEC）のDAG数を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 マルコフ連鎖モンテカルロ法の遅い混合や収束問題を回避できる、MECからの一様サンプリング手法を開発できるか？
• RQ3 因果構造の事前知識を数え上げおよびサンプリングプロセスに統合する方法は何か？ これにより因果推論がどのように向上するか？
• RQ4 本質的グラフおよびそのクリークツリー表現が持つどのような構造的性質が、MECサイズ計算のための効率的再帰的分解を可能にするか？

主な発見

• 提案手法であるクリークツリーに基づくアプローチは、O(p^{Δ+2})の時間でMECのサイズを計算し、次数が有界なグラフに対して多項式時間の計算量を達成する。
• 本手法により、O(Δp^{Δ+2})の時間計算量でMECからの一様サンプリングが可能となり、各DAGが確率1/Size(G*)で選択される。
• アルゴリズムは部分クラスにおけるエッジの方向付けを体系的に制御できるため、従来の再帰的公式とは異なり、明示的な方向付け制御が可能な応用に適している。
• マルコフ連鎖法の遅い混合や収束問題を回避し、再帰的列挙手法よりもスケーラブルな代替手段を提供する。
• 事前知識の統合をサポートしており、因果実験設計や連携干渉効果の推定に応用可能である。
• 理論的解析により、サンプリング手順がMEC内に含まれる各DAGを等確率で生成することが示され、再帰的深さに関する帰納法によって証明されている。