[論文レビュー] Counting cocircuits and convex two-colourings is #P-complete

Steven D. Noble, Noble, Steven D.|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、各色クラスが連結部分グラフを誘導するようなグラフの凸2色塗り分けの数え上げと、グラフにおけるコサイクルの数え上げの両方が#P完全であることを証明している。著者らは、既知の#P完全問題である#Monotone 2-SATから出発し、Max Cut、Required Size Cocircuits、Cocircuits、最終的にConvex Two-Colouringsへと連鎖する還元を確立することで、両問題の計算的非効率性を多項式時間還元によって示している。

ABSTRACT

We prove that the problem of counting the number of colourings of the vertices of a graph with at most two colours, such that the colour classes induce connected subgraphs is #P-complete. We also show that the closely related problem of counting the number of cocircuits of a graph is #P-complete.

研究の動機と目的

• マコフスキーが提起した、グラフにおける凸2色塗り分けの計算複雑性に関する問いを解決すること。
• グラフにおけるコサイクルの数え上げが#P完全であることを、以前に形式的に証明されていなかった問題として確立すること。
• これらの問題が多項式時間還元によって連鎖的に既知の#P完全問題に還元可能であることを示し、両問題の計算的非効率性を示すこと。
• #Monotone 2-SAT、Max Cut、Required Size Cocircuits、Cocircuits、Convex Two-Colouringsの間で複雑性の同等性を示す、新たな還元連鎖を提供すること。

提案手法

• #Monotone 2-SATから#Max Cutへの多項式時間還元を構築する。具体的には、節ごとに特化した9辺のサイクルを中央頂点に接続するグラフを構築する。
• 各#Max Cutインスタンスを、コサイクル構造とサイズ制約を強制するために補助頂点と辺を追加することによって、#Required Size Cocircuitsインスタンスに変換する。
• グラフのl-ストレッチ構成を用いて、コサイクル数がバーデルモンド行列を係数とする一次方程式系を形成するグラフ族を生成する。
• バーデルモンド行列の逆行列を求めるためにガウスの消去法を適用し、ストレッチされたグラフの全コサイクル数から、各サイズのコサイクル数を回復する。
• 両色を用いたコサイクルと凸2色塗り分けの間の直接的な全単射を確立し、そのような塗り分けの数がコサイクル数の2倍であることを示す。
• 還元連鎖を用いて、#Convex Two-Colouringsが#P困難であることを証明し、#Pに属することを示すため、#P完全であることが結論づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフにおける凸2色塗り分けの数え上げ問題は#P完全か？
• RQ2 グラフにおけるコサイクルの数え上げ問題は#P完全か？
• RQ3 #Max Cutが#Monotone 2-SATからの新規還元によって#P完全であることを示せるか？
• RQ4 線形代数を用いて、グラフのストレッチにおける全コサイクル数から、特定サイズのコサイクル数を回復できるか？
• RQ5 グラフにおけるコサイクルと凸2色塗り分けの間には直接的な組合せ的対応が存在するか？

主な発見

• グラフにおける凸2色塗り分けの数え上げ問題は#P完全であり、マコフスキーが提起した未解決問題が解決された。
• グラフにおけるコサイクルの数え上げ問題は#P完全であり、新たな#P完全性結果が確立された。
• #Max Cut問題は#P完全であることが、#Monotone 2-SATからの新規還元によって示された。
• グラフにおけるサイズ$k$のコサイクル数は、$l$-ストレッチされたグラフの全コサイクル数を用いて、ガウスの消去法を用いたバーデルモンド行列の逆行列計算により、多項式時間で回復可能である。
• 任意の連結グラフについて、両色を用いた凸2色塗り分けの数は、コサイクル数のちょうど2倍である。これは、両問題の間の直接的な組合せ的関係を示している。
• 全体の還元連鎖—#Monotone 2-SAT → #Max Cut → #Required Size Cocircuits → #Cocircuits → #Convex Two-Colourings—により、5つの問題すべてが#P完全であることが確立された。