[論文レビュー] Counting curves, and the stable length of currents

Viveka Erlandsson, Hugo Parlier+1 more|Bristol Research (University of Bristol)|Dec 18, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、曲面における特定の位相型の曲線の数の漸近的成長率を確立し、離散的かつコ compact な等長作用のもとで、その数が $6g - 6 + 2r$ 次の多項式的に増加することを示している。主な貢献は、このような作用における曲線の移動長（安定長）が、空間の電流に連続的かつ斉次に拡張されることを証明したことであり、幾何学的・力学的手段を用いて正確な数え上げを可能にしている。

ABSTRACT

Let $γ_0$ be a curve on a surface $Σ$ of genus $g$ and with $r$ boundary components and let $π_1(Σ)\curvearrowright X$ be a discrete and cocompact action on some metric space. We study the asymptotic behavior of the number of curves $γ$ of type $γ_0$ with translation length at most $L$ on $X$. For example, as an application, we derive that for any finite generating set $S$ of $π_1(Σ)$ the limit $$\lim_{L o\infty}\frac 1{L^{6g-6+2r}}\{γ ext{ of type }γ_0 ext{ with }S ext{-translation length}\le L\}$$ exists and is positive. The main new technical tool is that the function which associates to each curve its stable length with respect to the action on $X$ extends to a (unique) continuous and homogenous function on the space of currents. We prove that this is indeed the case for any action of a torsion free hyperbolic group.

研究の動機と目的

• 曲面における固定された位相型の曲線の数の漸近的成長を、等長群作用のもとで理解すること。
• 曲線の移動長（安定長）の概念を電流の空間に拡張し、連続性と斉次性を保証すること。
• このような曲線の成長率が、$6g - 6 + 2r$ 乗の多項式的成長を示し、その指数がメトリックや作用に依存しないこと（ただし、作用が離散的かつコ compact である限り）を証明すること。
• 電流の理論を用いて、双曲的および非正曲率曲面における既知の結果を、任意のメトリック作用へ一般化すること。
• 漸近的成長定数を、曲線の型に依存する要因と作用に依存する要因に分解できることを確立すること。

提案手法

• 曲線の安定長を、$\pi_1(\Sigma)$ が測地的距離空間 $X$ 上に等長作用を施すときの、最小移動長として定義する。
• 曲線（共轭類）から電流の空間への安定長関数を、連続的かつ斉次に拡張する。
• 電流の理論と写像類群の作用を用いて、特定の型の曲線の軌道構造を分析する。
• ミルザカニおよびエルランデンソン＝ソートの、双曲的および非正曲率メトリックにおける長さの成長に関する結果を、基礎的道具として応用する。
• すべての型 $\gamma_0$ の曲線の最小長代表元が、$\Sigma$ の内部にあるコンパクトな部分曲面 $\Sigma_K$ の一様近傍内に存在することを保証する。
• 最小長地図が最小交差数を実現すること（フリードマン＝ハス＝スコット）を活用し、境界成分まわりの巻き数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的かつコ compact な等長作用のもとで、曲面の特定の位相型 $\gamma_0$ の曲線で、移動長が $L$ 以下であるものの数は、$L$ の増加に従い多項式的に増加するか？
• RQ2 任意のトーショントラスフリーな双曲的群作用に対して、曲線の安定長を電流の空間に連続的かつ斉次に拡張できるか？
• RQ3 このような曲線の数の正確な漸近的成長率は何か？ また、これは genus、境界成分、および作用にのみ依存するか？
• RQ4 漸近的成長定数は、曲線の型に依存する要因と作用に依存する要因に分解可能か？
• RQ5 本結果は、双曲的および非正曲率メトリックにおける既知の漸近的数え上げ結果を一般化するか？

主な発見

• 任意の $\pi_1(\Sigma)$ の離散的かつコ compact な等長作用と、測地的距離空間 $X$ に対して、$\lim_{L\to\infty} \frac{1}{L^{6g-6+2r}} |\{\gamma \in \mathcal{S}_{\gamma_0} \mid \ell_X(\gamma) \leq L\}|$ が存在し、正である。
• 任意のトーショントラスフリーな双曲的群作用に対して、安定長関数は、電流の空間への一意的な連続的かつ斉次関数に拡張される。
• 任意の $\pi_1(\Sigma)$ の有限生成集合 $S$ に対して、$S$-移動長が $L$ 以下である型 $\gamma_0$ の曲線の数は、$L^{6g-6+2r}$ に比例して漸近的に増加し、正の定数を伴う。
• 異なる型 $\eta$ と $\eta'$ の曲線の漸近的成長比は有理数である：$\frac{n_\eta}{n_{\eta'}}$、ただし $n_\eta \in \mathbb{Q}$。
• 本結果は、Corollary 1.3 を一般化する：任意の $\Sigma$ の内部における完全なリーマン計量 $\rho$ に対して、$\rho$-長さが $L$ 以下の型 $\gamma_0$ の曲線の数は、正の定数を伴い $L^{6g-6+2r}$ に比例して漸近的に増加する。
• すべての型 $\gamma_0$ の最小長代表元が一様近傍内に存在するコンパクト部分曲面 $\Sigma_K$ の存在により、$\Sigma_K$ に制限した普遍被覆空間上の作用がコ compact であることが保証される。