[論文レビュー] Counting curves of any genus on rational ruled surfaces

Ravi Vakil|ArXiv.org|Sep 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、変形理論とGromov-Witten不変量を用いて、有理ルールド面における任意の genus の曲線の数を計算する。表面をより単純な、既知の数え上げ不変量を持つものに変形することで、すべての有理ルールド面 $ \mathbb{F}_n $ における genus $ g $ のGロモ・ウィッテン不変量を決定する再帰的公式を導出する。これは、平面曲線の結果を、これらの面における高genus曲線へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of the Severi varieties parametrizing curves on the rational ruled surface $\fn$. We compute the number of such curves through the appropriate number of fixed general points on $\fn$, and the number of such curves which are irreducible. These numbers are known as Severi degrees; they are the degrees of unions of components of the Hilbert scheme. As (i) $\fn$ can be deformed to $\eff_{n+2}$, (ii) the Gromov-Witten invariants are deformation-invariant, and (iii) the Gromov-Witten invariants of $\eff_0$ and $\eff_1$ are enumerative, Theorem ef{irecursion} computes the genus $g$ Gromov-Witten invariants of all $\fn$. (The genus 0 case is well-known.) The arguments are given in sufficient generality to also count plane curves in the style of L. Caporaso and J. Harris and to lay the groundwork for computing higher genus Gromov-Witten invariants of blow-ups of the plane at up to five points (in a future paper).

研究の動機と目的

• 有理ルールド面 $ \mathbb{F}_n $ における任意のgenusの曲線の数を計算すること。これは、数え上げ幾何学において重要な代数的表面のクラスである。
• Gromov-Witten不変量の変形不変性を活用して、固定された一般点を通るような曲線の数（Severi次数）を特定すること。
• 元々平面曲線の数え上げのために開発されたCaporasoとHarrisの手法を、ルールド面上の高genus曲線へと一般化すること。
• 将来の研究において、$ \mathbb{P}^2 $ の5点までの吹き上げにおける高genus Gromov-Witten不変量を計算する理論的基盤を築くこと。

提案手法

• Gromov-Witten不変量の変形不変性を用いて、$ \mathbb{F}_n $ における不変量を $ \mathbb{F}_{n+2} $ における不変量と関連付ける。$ \mathbb{F}_{n+2} $ の不変量は計算がより簡単である。
• 再帰の基本ケースとして、$ \mathbb{F}_0 $ および $ \mathbb{F}_1 $ の既知の数え上げGromov-Witten不変量を適用する。
• すべての $ n $ および $ g $ に対して、$ \mathbb{F}_n $ のgenus $ g $ Gromov-Witten不変量を計算する再帰的公式（定理 \ref{irecursion}）を構築する。
• $ \mathbb{F}_n $ 上の曲線をパラメトライズするSeveri多様体の幾何を活用して、数え上げ的カウントとHilbertスキームの次数を関連付ける。
• この手法が、$ \mathbb{P}^2 $ の5点までの吹き上げにおける曲線の数え上げに応用可能であるように、一般性を保つ。
• $ \mathbb{F}_n $ が $ \mathbb{F}_{n+2} $ に変形可能であり、その変形においてGromov-Witten不変量が保存されることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般点条件が固定された有理ルールド面 $ \mathbb{F}_n $ における任意のgenusの曲線の数を、どのように計算できるか？
• RQ2 $ \mathbb{F}_n $ と $ \mathbb{F}_{n+2} $ のGromov-Witten不変量の関係は何か？この関係を計算にどう活用できるか？
• RQ3 CaporasoとHarrisが平面曲線の数え上げのために開発した手法を、ルールド面上の高genus曲線へと一般化できるか？
• RQ4 $ \mathbb{F}_n $ 上の曲線をパラメトライズするSeveri多様体の構造は何か？そして、これと数え上げ的不変量の関係は？
• RQ5 直接計算が困難な場合、変形理論をどのように用いて $ \mathbb{F}_n $ のGromov-Witten不変量を計算できるか？

主な発見

• 論文は、すべての有理ルールド面 $ \mathbb{F}_n $ におけるgenus $ g $ Gromov-Witten不変量を計算する再帰的公式（定理 \ref{irecursion}）を確立し、よく知られたgenus 0の場合を越えて拡張する。
• 一般点を通過するgenus $ g $ の曲線の数は、変形不変性および $ \mathbb{F}_0 $ と $ \mathbb{F}_1 $ の既知の不変量を用いて決定される。
• Severi次数（すなわち、このような曲線をパラメトライズするHilbertスキームの成分の次数）は、すべての $ g $ および $ n $ に対して計算され、完全な数え上げ的答えが得られる。
• この手法は、$ \mathbb{P}^2 $ の5点までの吹き上げにおける高genus Gromov-Witten不変量を計算するのに拡張可能であり、今後の研究で示唆されている。
• Gromov-Witten不変量が変形不変であり、$ \mathbb{F}_n $ が $ \mathbb{F}_{n+2} $ に変形可能で、不変量が保存されることを確認する。
• 論文は、有理面における数え上げ幾何学のための基盤を提供し、高genusにおける曲線の数え上げに明示的な計算ツールを提供する。