[論文レビュー] Counting cusp forms by analytic conductor

Farrell Brumley, Djordje Milićević|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数体 F 上の GL_n におけるユニタリな尖域自動形式表現の数について、解析的ノルム Q で順序付けたときの漸近公式を確立し、その数が log 要素を含まずに Q^{n+1} のオーダーで増加することを証明する。n ≥ 3 において、実数的場所で球面的仮定を課した場合、主要項の定数は幾何的に解釈され、予想される Sato–Tate 測度と関連づけられる。一方、手法により、レベルに関する対数的改善を伴う一様 Weyl の法則と、非温度的離散スペクトルに対する強い評価を得る。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field and $n\geqslant 1$ an integer. The universal family is the set $\mathfrak{F}$ of all unitary cuspidal automorphic representations on ${ m GL}_n$ over $F$, ordered by their analytic conductor. We prove an asymptotic for the size of the truncated universal family $\mathfrak{F}(Q)$ as $Q ightarrow\infty$, under a spherical assumption at the archimedean places when $n\geqslant 3$. We interpret the leading term constant geometrically and conjecturally determine the underlying Sato--Tate measure. Our methods naturally provide uniform Weyl laws with logarithmic savings in the level and strong quantitative bounds on the non-tempered discrete spectrum for ${ m GL}_n$.

研究の動機と目的

• 固定された数体 F 上の GL_n におけるユニタリ尖域自動形式表現の普遍的族の、解析的ノルム Q による漸近的成長率を同定すること。
• 漸近的数え上げにおける主項定数を、有理点の数え上げと類似する形で幾何的に解釈すること。
• これらの表現の分布を支配すると予想される Sato–Tate 測度を同定すること。
• GL_n に対して、レベルに関する対数的改善を伴う一様 Weyl の法則を確立すること。
• トレース公式の手法を用いて、GL_n の非温度的離散スペクトルに対する強い定量的評価を得ること。

提案手法

• 著者たちは、数体 F 上の GL_n における自動形式のスペクトル側を分析するため、アーチャードのトレース公式を用いる。特に、離散スペクトルと例外的スペクトルに注目する。
• スペクトル局所化関数と Paley–Wiener 評価を用いて、特に非温度的領域における離散スペクトルの寄与を制御する。
• 鍵となる技術的ステップとして、リー代数の双対空間における格子点のスペクトル和を、覆い半径 1/R を用いてスペクトルパラメータを局所化する分解を施す。
• この手法は、局所的重み付き軌道積分の評価と、Paley–Wiener 条件を満たすテスト関数の構成に依存しており、トレース公式の幾何的側の制御を可能にする。
• ランクに関する帰納法を用い、問題をより小さい一般線型群へ還元する。球面的状態の GL_m については、帰納仮定により条件なしに取り扱う。
• 解析的ノルムを高さ関数として組み込み、L 関数の複雑さと Converse 定理とを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的ノルム Q が無限大に近づくとき、数体 F 上の GL_n(F) におけるユニタリ尖域自動形式表現の数の漸近的成長率は何か？
• RQ2 漸近的数え上げにおける主項定数を幾何的にどのように解釈できるか。また、これにより自動形式の分布の背後にある構造はどのようなものか？
• RQ3 これらの表現の極限における等分布を支配すると予想される Sato–Tate 測度は何か？
• RQ4 トレース公式の手法を用いて、GL_n に対してレベルに関する対数的改善を伴う一様 Weyl の法則を確立できるか？
• RQ5 スペクトル手法を用いて、GL_n の非温度的離散スペクトルに対する定量的評価をどの程度得られるか？

主な発見

• Q → ∞ のとき、切断された普遍的族 F(Q) の濃度は、log 要素を含まずに Q^{n+1} のオーダーで漸近的に増加する。これは Michel と Venkatesh の予想を裏付ける。
• 漸近的数え上げにおける主項定数は、有理点の数え上げにおける高さゼータ関数と類似した形で幾何的に解釈される。
• 著者たちは、解析的ノルム順序付けの下で、GL_n(F) のユニタリ双対群上の Plancherel 測度が、背後にある Sato–Tate 測度に対応すると予想する。
• この手法により、レベルに関する対数的改善を伴う GL_n に対する一様 Weyl の法則が得られ、従来の評価を改善する。
• GL_n の非温度的離散スペクトルに対して、強い定量的評価が得られ、誤差項はスペクトル局所化と Paley–Wiener 評価によって制御される。
• 証明は帰納法と、n ≥ 3 における実数的場所での球面的仮定に依存しており、これにより主項に寄与するのは球面的表現に限られることが保証される。