[論文レビュー] Counting De Bruijn sequences as perturbations of linear recursions

Don Coppersmith, Robert C. Rhoades+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、与えられた線形再帰とちょうどk個の位置で異なるバイナリ・ド・ブルージューニー列を数えるための生成関数を、重み付きマトリックスツリー定理とド・ブルージューニー・グラフにおけるin-treeとハミルトニアン路の対応を用いて導出する。主な結果は、状態空間内のサイクルごとに、各サイクルが因子 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $ を寄与させることで、生成関数をサイクルの積として表現することであり、これは1894年にフリエ・サン＝マルグが行ったド・ブルージューニー列の数え上げを一般化するものである。

ABSTRACT

Every binary De~Bruijn sequence of order n satisfies a recursion 0=x_n+x_0+g(x_{n-1}, ..., x_1). Given a function f on (n-1) bits, let N(f; r) be the number of functions generating a De Bruijn sequence of order n which are obtained by changing r locations in the truth table of f. We prove a formula for the generating function \sum_r N(\ell; r) y^r when \ell is a linear function. The proof uses a weighted Matrix Tree Theorem and a description of the in-trees (or rooted trees) in the n-bit De Bruijn graph as perturbations of the Hamiltonian paths in the same graph.

研究の動機と目的

• 与えられた線形再帰とちょうどk個の位置で異なる列を数えることで、フリエ・サン＝マルグが1894年に行ったド・ブルージューニー列の数え上げを一般化すること。
• 線形関数 $ f $ の真理値表のkビットを反転することで得られるド・ブルージューニー列を数える生成関数 $ G(f;y) = \sum_k N(f;k) y^k $ を開発すること。
• nビットのド・ブルージューニー・グラフにおけるin-tree（根付き全域木）の構造とハミルトニアン路との間の関係を確立し、スペクトル法による数え上げを可能にする。
• 線形関数 $ \ell $ に対して、生成関数が状態空間内の原始ネックレスサイクルの積に分解され、各サイクルが項 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $ を寄与させることを証明すること。

提案手法

• nビットのド・ブルージューニー・グラフに、線形再帰と一致する辺には重み1、一致しない辺には重みyを割り当てた重み付き隣接行列 $ W_{\ell,n} $ を定義する。
• 重み付きマトリックスツリー定理を適用し、$ (1+y)I - W_{\ell,n} $ の行和と列和が0であることに着目して、生成関数を $ W_{\ell,n} $ の固有多項式に関連付ける。
• 状態空間のキャラクターベース分解 $ X_\alpha = \sum_x (-1)^{\alpha \cdot x} [x] $ を導入し、これにより $ W_{\ell,n} $ の作用が対角化されることを示す。
• キャラクタースペースにおけるガロアサイクルを用いて $ W_{\ell,n} $ の固有空間を同定し、長さ $ r $ で最初のビットに $ k $ 個の1を含むサイクルが、固有多項式に因子 $ z^r - (1+y)^{r-k}(1-y)^k $ を寄与させることを示す。
• 特に $ \beta_{n-1} $ という線形汎関数を介して、キャラクタースペース内のガロアサイクルを状態空間内のサイクルにマッピングし、サイクル構造を一致させ、最終的な積公式を導出する。
• ド・ブルージューニー・グラフにおけるin-treeとハミルトニアン路の対応を用いて、スペクトル的数え上げにマトリックスツリー定理を適用することの正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた線形関数 $ \ell $ の真理値表のうち、ちょうどk個の要素を反転することで得られるn次のド・ブルージューニー列は、いくつ存在するか？
• RQ2 このような摂動に対する生成関数 $ G(\ell;y) = \sum_k N(\ell;k) y^k $ は、線形関数 $ \ell $ に対して閉形式で表せるか？
• RQ3 線形再帰の摂動を符号化する重み付き隣接行列 $ W_{\ell,n} $ の代数的構造は何か？
• RQ4 線形再帰の状態空間内のサイクルは、$ W_{\ell,n} $ の固有値とどのように関係し、生成関数の計算にどう利用できるか？
• RQ5 線形再帰のド・ブルージューニー・グラフにおけるサイクル分解にのみ依存する、$ G(\ell;y) $ の一様な公式は存在するか？

主な発見

• 任意の定数項が0である線形関数 $ \ell: \mathbb{F}_2^{n-1} \to \mathbb{F}_2 $ に対して、生成関数は $ G(\ell;y) = 2^{-n} \prod_{{\bf c} \in C(\ell)} p_{d({\bf c})}(y) $ と表され、ここで $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $ であり、$ d({\bf c}) $ は原始ネックレス類 $ {\bf c} $ に含まれる1の個数である。
• 生成関数を $ y=1 $ で評価すると、フリエ・サン＝マルグの古典的結果が回復される：n次のド・ブルージューニー列の総数は $ 2^{2^{n-1} - n} $ である。
• $ \ell $ が $ n $ 個の連続する0を持たない $ (2^n - 1) $-サイクルを生成する場合、公式は $ G(\ell;y) = 2^{-n} \left( (1+y)^{2^{n-1}} - (1-y)^{2^{n-1}} \right) $ に簡略化され、これはフライアーズ（2015年）の結果を確認する。
• 零関数 $ 0_n $ の場合、生成関数は $ G(0_n;y) = 2^{-n} \prod_i p_i(y)^{e_{n,i}} $ と表され、ここで $ e_{n,i} = \sum_{d|n} L(d,i) $ であり、$ L(d,i) $ は長さ $ d $ で $ i $ 個の1を含む原始ネックレスの個数を数える。
• 本手法により、キャラクタースペース内のガロアサイクルと状態空間内のサイクルとの間のスペクトル的対応関係が確立され、$ W_{\ell,n} $ の固有値がサイクル長とサイクルの最初のビットに含まれる1の個数によって決定されることを示した。
• 証明により、第二著者が実験的データとランダム置換の類似性に基づいて提起した予想が裏付けられ、ヘレセスとクローヴェが得た $ N(\ell;3) $ に関する先行結果が一般化された。