[論文レビュー] Counting Dominating Sets of Graphs

Irene Heinrich, Peter Tittmann|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の有限単純グラフにおける支配集合の数を、その補グラフ内の完全二部部分グラフの数を用いて正確な式で表す。全支配集合の数 d(G) は 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)] に等しく、ここで a(G) と b(G) は補グラフ内における偶-偶および奇-奇の完全二部部分グラフ K₂ₚ,₂ₚ および K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁ の個数を表す。この結果により、支配の代数的特徴付けが得られ、任意の有限グラフにおける支配集合の数が常に奇数であることを示す新しい証明が可能になる。

ABSTRACT

Counting dominating sets in a graph $G$ is closely related to the neighborhood complex of $G$. We exploit this relation to prove that the number of dominating sets $d(G)$ of a graph is determined by the number of complete bipartite subgraphs of its complement. More precisely, we state the following. Let $G$ be a simple graph of order $n$ such that its complement has exactly $a(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p,2q}$ and exactly $b(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p+1,2q+1}$. Then $d(G) = 2^n -1 + 2[a(G)-b(G)]$. We also show some new relations between the domination polynomial and the neighborhood polynomial of a graph.

研究の動機と目的

• グラフにおける支配集合の数とその補グラフ内の完全二部部分グラフ構造との間の直接的な代数的関係を確立すること。
• 任意の有限グラフにおける支配集合の数が常に奇数であるという事実を、組合せ的公式を用いて再証明すること。
• 補グラフの構造的不変量を通じて、支配多項式と近傍多項式を統一すること。
• 包含除算とエウラー関数の逆算を用いて、支配多項式の閉形式表現を導出すること。

提案手法

• 著者らは、グラフの近傍複体とその生成関数である近傍多項式を用い、頂点の開近傍に含まれる部分集合を分析する。
• 包含除算法則を適用し、近傍多項式を頂点部分集合の近傍の共通部分集合に関する符号付き和として表現する。
• グラフの辺部分集合上におけるエウラー関数の逆算を用いて、近傍多項式の生成関数的恒等式を導出する。
• Gにおける支配集合とG̅における近傍の間の双対性を確立し、D(G,1) + N(G̅,1) = 2ⁿ を示す。
• G̅内における完全二部部分グラフ Kₚ,ₚ の構造を用いて N(G̅,1) を計算し、p と q の偶奇に応じて場合分けを行う。
• 完全二部部分グラフの同型型に関する符号付き和を用いて、最終的な公式 d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)] を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフにおける支配集合の数は、その補グラフ内の部分グラフ数の観点からどのように表現できるか？
• RQ2 補グラフのどのような構造的性質が、支配集合の偶奇性と正確な個数を決定づけるか？
• RQ3 支配集合の数が常に奇数であるという既知の事実を、部分グラフ数え上げを含む組合せ的公式から導出可能か？
• RQ4 支配多項式と近傍多項式の間の正確な関係は何か？
• RQ5 辺部分集合とその包含除算法則の性質は、近傍多項式および支配多項式の計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 位数 n のグラフ G における支配集合の数 d(G) は、d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)] で与えられる。ここで a(G) と b(G) は、補グラフ内における K₂ₚ,₂ₚ および K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁ に同型な部分グラフの個数を表す。
• この公式により、d(G) が常に奇数であることが確認される。なぜなら、2[a(G) − b(G)] は偶数であり、2ⁿ − 1 は奇数であるからである。
• 補グラフ内の偶数部および奇数部を持つ完全二部部分グラフは、それぞれの部の偶奇に応じて、個数に正または負の寄与をもたらす。
• 補グラフ G̅ の近傍多項式 N(G̅,x) が、恒等式 D(G,x) + N(G̅,x) = (1+x)ⁿ を用いて、G の支配多項式 D(G,x) を完全に決定する。
• G の辺部分集合 F に対する (−1)ˡᶠˡ N(G−F,x) の和は、G が完全二部グラフまたは空グラフに同型でない限り 0 に等しく、その場合に限り閉形式の表現が得られる。
• この結果により、支配集合の数の奇数性に関する新しい代数的証明が得られ、部分グラフ数え上げを用いて既知の予想を解決する。