[論文レビュー] Counting eigenvalues of Schrödinger operator with complex fast decreasing potential

Alexander Borichev, Rupert L. Frank+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Gevreyクラスに属する解析関数の零点を分析することにより、急速に減衰する複素ポテンシャルを持つ離散シュレーディンガー作用素の固有値個数に対する鋭い定量的評価を確立する。複素解析および擬解析的技法を用いて、ポテンシャルの減衰パラメータで表される明示的な上界を導出し、非自己共役スペクトル理論における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We give a sharp estimate of the number of zeros of analytic functions in the unit disc belonging to analytic quasianalytic Carleman--Gevrey classes. As an application, we estimate the number of the eigenvalues for discrete Schrödinger operators with rapidly decreasing complex-valued potentials, and, more generally, for non-symmetric Jacobi matrices.

研究の動機と目的

• 複素ポテンシャルが $ e^{-c|x|^{1/2}} $ のように減衰するシュレーディンガー作用素に対して、 Pavlov の固有値が有限個であるという定性的結果の定量的版を提供すること。
• 擬解析的カルマン–ゲヴレークラスに属する単位円板内での解析関数の零点個数に対する鋭い上界を確立すること。
• これらの零点数え上げ推定を応用し、急速に減衰する複素ポテンシャルを持つ離散シュレーディンガー作用素および非対称ジャコビ行列の固有値個数に対する明示的かつ定量的な評価を得ること。
• 変分法が失敗する非自己共役スペクトル理論において、定性的なスペクトル結果と定量的推定の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 著者らは、テイラー係数が急速に減衰する単位円板内での解析関数を分析し、特に $ |φ(n)| \leq e^{-a n^{(1+\beta)/(2+\beta)}} $ で定義されるGevrey型クラスに属する関数を対象とする。
• $ \bar{\partial} $-拡張技法を用いて、このような関数を単位円板からより大きな円板 $ \mathbb{D}(2) $ に拡張し、$ \bar{\partial} $-微分の制御を保つ。
• 拡張は分区画と尾部級数分解を用いて構成され、$ \bar{\partial}f(z) \leq d_f' \rho_\beta(d_f(|z|-1)) $ を満たす。ここで $ \rho_\beta(x) = e^{-1/x^{1+\beta}} $ である。
• グリーンの公式を適用し、$ \bar{\partial} $-微分を含む積分表現を介して拡張関数を回復させ、複素解析的推定を用いて零点数え上げを可能にする。
• 逆問題についても検討されている：このような $ \bar{\partial} $-境界が与えられたとき、元のテイラー係数は所望のGevrey型減衰を満たす。
• これらの結果を固有値数え上げ問題に応用し、固有値をジャコビ行列に関連する行列式に類似した解析関数の零点として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己共役シュレーディンガー作用素に対して、複素ポテンシャルが $ e^{-c|x|^{1/2}} $ のように減衰する場合に、固有値個数に対する明示的かつ定量的な上界を得ることは可能か？
• RQ2 ポテンシャルの境界 $ |V(x)| \leq C_1 e^{-c_2 |x|^{1/2}} $ における減衰パラメータ $ C_1 $ と $ c_2 $ にたいして、固有値個数の鋭い依存関係は何か？
• RQ3 解析接続が不可能な場合、Gevreyクラスに属する解析関数の零点個数をどのように評価できるか？
• RQ4 提案された固有値個数の上界は、重要な特殊ケースにおいてほぼ最適であるか？

主な発見

• 単位円板内に属するカルマン–ゲヴレークラスに属する解析関数の零点個数は、$ C \cdot d_f^{-\frac{1+\beta}{2+\beta}} $ で抑えられる。ここで $ d_f $ は $ \bar{\partial} $-微分の減衰を制御する。
• ポテンシャル $ |V(x)| \leq C_1 e^{-c_2 |x|^{1/2}} $ を持つ離散シュレーディンガー作用素の固有値個数に対する上界は、$ C_1 $ と $ c_2 $ の関数として明示的に定量化され、50年前の未解決問題を解消する。
• 本手法により得られる上界は、重要な特殊ケースにおいてほぼ鋭いものであり、推定値が対数的または定数因子の違いを除いて最適であることを示唆する。
• $ \bar{\partial} $-拡張技法により、元の関数の減衰の観点から $ \bar{\partial} $-微分の制御が可能となり、コンパクトな台を持つ関数と制御された微分を持つ関数の構成が可能になる。
• 逆推定により、$ \bar{\partial}f $ が $ \rho_\beta(d_f(|z|-1)) $ のように減衰するならば、$ f $ のテイラー係数は所望のGevrey型減衰を満たすことが示される。
• 結果は非対称ジャコビ行列へと拡張可能であり、連続的・多次元的シュレーディンガー作用素へも一般化可能であると予想される。