[論文レビュー] Counting Homomorphisms to Square-Free Graphs, Modulo 2

Andreas Göbel, Leslie Ann Goldberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、2を法とするグラフ準同型の数え上げに関する二分岐定理を確立し、Hの自己同型を含まない還元が平方自由であるような任意のグラフHに対して、問題⊕HomsToHはPに属するか⊕P完全のいずれかであることを証明している。著者らは、次数の偶奇と平方自由グラフ内のサイクル構造に基づく新しい構造的解析を導入することで、FabenとJerrumの予想を木やカタスグラフに限らない広範なグラフクラスにまで拡張した。最終的に、自己同型を含まない還元が1つの頂点より多くを含み、かつ4サイクルを含まない場合にのみ、計算の困難さが生じることを示した。

ABSTRACT

We study the problem HomsTo$H$ of counting, modulo 2, the homomorphisms from an input graph to a fixed undirected graph $H$. A characteristic feature of modular counting is that cancellations make wider classes of instances tractable than is the case for exact (non-modular) counting, so subtle dichotomy theorems can arise. We show the following dichotomy: for any $H$ that contains no 4-cycles, HomsTo$H$ is either in polynomial time or is $\oplus P$-complete. This confirms a conjecture of Faben and Jerrum that was previously only known to hold for trees and for a restricted class of treewidth-2 graphs called cactus graphs. We confirm the conjecture for a rich class of graphs including graphs of unbounded treewidth. In particular, we focus on square-free graphs, which are graphs without 4-cycles. These graphs arise frequently in combinatorics, for example in connection with the strong perfect graph theorem and in certain graph algorithms. Previous dichotomy theorems required the graph to be tree-like so that tree-like decompositions could be exploited in the proof. We prove the conjecture for a much richer class of graphs by adopting a much more general approach.

研究の動機と目的

• 一般のグラフに対して2を法とする準同型の数え上げの計算複雑性に関するFabenとJerrumの予想を解明すること。
• 木やカタスグラフに限らない、すべての平方自由グラフにまで既知の二分岐を拡張すること。
• Hの自己同型を含まない還元に基づいて、⊕HomsToHが解法可能か⊕P完全かを特定する構造的特徴付けを確立すること。
• 木に似た分解に依存しない新しい証明技法を開発し、複雑で木に似ていないグラフの解析を可能にすること。

提案手法

• 入力グラフGから固定されたグラフHへの準同型の数を2で割った余りとして、問題⊕HomsToHを定義する。
• Hの自己同型を含まない還元H∗を用い、|Hom(G → H)| ≡ |Hom(G → H∗)| (mod 2) であるという事実を活用する。
• 頂点の次数、サイクルの有無、双子性を検討することで、H∗の構造を分析し、困難さの条件を同定する。
• 平方自由グラフにおける次数の偶奇と辺構造を用いて、ハードネスギャジェットを構築し、⊕P完全性を証明する。
• 一般のグラフをその自己同型を含まない対応物に還元するための還元技術を適用する。
• 偶数次頂点の数とサイクル構造に基づくケース解析により、H∗が≤1個の頂点でない限り、ハードネスギャジェットが存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフHに対して問題⊕HomsToHは2を法として解法可能か？
• RQ2 Faben-Jerrumの予想——⊕HomsToHがPに属する iff 自己同型を含まない還元H∗が最大で1つの頂点を持つ——は、木やカタスグラフを越えて成り立つか？
• RQ3 木の幅が有界でないグラフを含む平方自由グラフに対しても、二分岐定理を確立できるか？
• RQ4 H∗のどの構造的性質（例：次数の偶奇、サイクル構造）が、⊕HomsToHが⊕P完全であるかどうかを決定するか？
• RQ5 木の幅が有界でないグラフでは、従来の木分解法が使えないが、どのようにして困難さを証明できるか？

主な発見

• 問題⊕HomsToHは、Hの自己同型を含まない還元H∗が最大で1つの頂点を持つ場合に限り、Pに属する。
• 自己同型を含まない還元H∗が平方自由で、1つ以上の頂点を含む任意のグラフHに対して、⊕HomsToHは⊕P完全である。
• 著者らは、Faben-Jerrumの予想が、木の幅が有界でない平方自由グラフに対しても成り立つことを証明した。
• 自己同型を含まない、連結で平方自由なグラフにおいて、1つ以上の偶数次頂点が存在するか、サイクルを含む場合、ハードネスギャジェットが存在する。
• H∗のすべての頂点が奇数次である場合でも、補題5.1によりサイクルが存在することが保証されるため、偶数次頂点がなくてもハードネスギャジェットが存在する。これは、双子性を満たす平方自由グラフに対しても成立する。
• 証明技法は木分解法に依存せず、代わりに次数の偶奇と局所的構造を用いて還元を構築するため、木に似ていないグラフへの拡張が可能になった。