[論文レビュー] Counting hyperelliptic curves in Abelian surfaces with quasi-modular forms

Simon Charles Florian Rose|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、クレパント解体予想とヤウ＝ザスロー公式を用いて、極小化されたアーベル多様体上の双曲的代数曲線（平行移動を除く）の数の母関数を導出する。曲線の数え上げはマクマヘンの一般化された約数和関数を用いて表現され、それらが準モジュラー形式をなすことを証明し、数え上げ幾何学とモジュラー形式の深い関係を確立する。

ABSTRACT

In this thesis we produce a generating function for the number of hyperelliptic curves (up to translation) on a polarized Abelian surface using the crepant resolution conjecture and the Yau-Zaslow formula. We present a formula to compute these in terms of P. A. MacMahon's generalized sum-of-divisors functions, and prove that they are quasi-modular forms.

研究の動機と目的

• 極小化されたアーベル多様体上の双曲的代数曲線（平行移動を除く）の数の母関数を構築すること。
• クレパント解体予想を通じて、双曲的代数曲線の数え上げ不変量とモジュラー形式を結びつけること。
• P. A. マクマヘンの一般化された約数和関数を用いて、曲線の数え上げを表現すること。
• 得られる母関数が準モジュラー形式であることを証明すること。

提案手法

• 特異な代数的多様体の不変量とその滑らか化された解体の不変量との関係を、クレパント解体予想を用いて関係づける。
• ヤウ＝ザスロー公式を用いて、解体から得られるカーバイ＝ヤウ3次元多様体内の有理曲線の数を数える。
• 有理曲線の数え上げを、元のアーベル多様体上の双曲的代数曲線の数え上げに変換する。
• P. A. マクマヘンの一般化された約数和関数を用いて、数え上げ不変量を明示的に表現する。
• 母関数のモジュラー性を分析し、その準モジュラー性を確立する。
• 極小化されたアーベル多様体およびその解体における代数幾何学的技法を用いて、公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小化されたアーベル多様体上の双曲的代数曲線（平行移動を除く）の数を、どのように体系的かつ系統的に数え上げることができるか？
• RQ2 ヤウ＝ザスロー公式とアーベル多様体内の双曲的代数曲線の数え上げの間には、どのような関係があるか？
• RQ3 マクマヘンの一般化された約数和関数は、これらの曲線の数え上げをどのようにパラメータ化するか？
• RQ4 これらの曲線の数え上げの母関数が、なぜ準モジュラー性を示すのか？
• RQ5 クレパント解体予想は、これらの不変量の計算をどのように支援するか？

主な発見

• 極小化されたアーベル多様体上の双曲的代数曲線の母関数は、クレパント解体予想を用いて明示的に構成された。
• 双曲的代数曲線の数え上げは、P. A. マクマヘンの一般化された約数和関数の線形結合として表現された。
• これらの曲線の数え上げの母関数が準モジュラー形式であることが証明された。
• この結果により、双曲的代数曲線の数え上げ幾何学とモジュラー形式論の間の明確な関係が確立された。
• 本手法により、算術関数とモジュラーデータを用いて、双曲的代数曲線の数え上げを体系的に計算する方法が提供された。