[論文レビュー] Counting Independent Sets and Colorings on Random Regular Bipartite Graphs

Chao Liao, Jiabao Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、グラウンドクラスターベースの新規ポリマー・モデル枠組みを用いて、ランダムな∆-正則二部グラフにおける独立集合の数え上げおよび適切なq色分けの数え上げのための完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）を提示する。∆ ≥ 53 および遷移率λ ≥ 1、または∆が十分に大きくλ = e^Ω(1/∆) である場合、高確率でFPTASが達成される。本手法は、重複する配置を扱い、非グラウンド状態からの寄与が指数的に減少することを示すことで、先行研究のハードカーブモデルへの拡張を可能にする。

ABSTRACT

We give a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) to count the number of independent sets on almost every $Δ$-regular bipartite graph if $Δ\ge 53$. In the weighted case, for all sufficiently large integers $Δ$ and weight parameters $λ= ildeΩ\left(\frac{1}Δ ight)$, we also obtain an FPTAS on almost every $Δ$-regular bipartite graph. Our technique is based on the recent work of Jenssen, Keevash and Perkins (SODA, 2019) and we also apply it to confirm an open question raised there: For all $q\ge 3$ and sufficiently large integers $Δ=Δ(q)$, there is an FPTAS to count the number of $q$-colorings on almost every $Δ$-regular bipartite graph.

研究の動機と目的

• ∆ ≥ 53 およびλ ≥ 1 の場合に、ランダムな∆-正則二部グラフにおける独立集合の数え上げのためのFPTASを開発すること。
• 大規模な∆およびλ = e^Ω(1/∆) の場合に、重み付き独立集合問題（ハードカーブモデル）のFPTASを拡張すること。
• q ≥ 3 および十分に大きな∆に対して、ランダムな∆-正則二部グラフにおける適切なq色分けの数え上げのためのFPTASの存在という未解決問題を解消すること。
• 分割関数が、個々のグラウンド状態ではなく、支配的「グラウンドクラスタ」に近い配置に注目することで、効率的に近似可能であることを確立すること。
• すべてのグラウンドクラスタから遠く離れた配置からの寄与が指数的に小さくなることを証明し、ポリマー・モデルによる効率的な近似を可能にすること。

提案手法

• グラウンド状態の概念を一般化するため、『グラウンドクラスタ』— 例えば、独立集合における片側のすべての頂点、または色の部分集合に制限された色分けなど、配置の族—を導入する。
• 各グラウンドクラスタからの逸脱を表すポリマー・モデルを定義し、配置数から得られる重みを用いて、分割関数をポリマーの和として再定式化する。
• ランダムな∆-正則二部グラフの展開性（特にβ = ∆^{1/2}/3 を満たす(α, β)-展開性）を用いて、隣接頂点の数を抑え、ポリマーの重みを制御する。
• ポリマー・モデルがKotecký–Preissの収束条件を満たすことを証明し、原点の近傍で分割関数が非ゼロであることを保証することで、効率的な近似が可能になる。
• 先行研究から得られたポリマー・モデルのFPTASを用いて、各グラウンドクラスタの分割関数を近似し、重複するクラスタに対しては対称性と包含除算法を用いて推定値を統合する。
• 小さなグラフまたは非常に小さなεの場合はブルートフォース計算を用い、より大きなインスタンスに対してはFPTASを適用することで、全体のアルゴリズムがnおよび1/εに関して多項式時間で実行されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∆ ≥ 53 およびλ ≥ 1 の場合に、ランダムな∆-正則二部グラフにおける独立集合の数え上げのためのFPTASを設計可能か？
• RQ2 大規模な∆およびλ = e^Ω(1/∆) の場合に、このようなグラフにおける重み付き独立集合問題（ハードカーブモデル）のFPTASは存在するか？
• RQ3 q ≥ 3 および十分に大きな∆に対して、ランダムな∆-正則二部グラフにおける適切なq色分けの数え上げのためのFPTASは存在するか？
• RQ4 未重み付き設定において、グラウンドクラスタから遠く離れた配置からの寄与が指数的に減少することを厳密に確立できるか？
• RQ5 重複するグラウンドクラスタ（例えば色分けの場合）をどのように扱うか、重複カウントを回避しつつ近似の正確性を保つには？

主な発見

• 高確率で、n → ∞ のとき、すべての∆ ≥ 53 およびλ ≥ 1 に対して、ランダムな∆-正則二部グラフにおける独立集合の数え上げのためのFPTASが存在する。
• 十分に大きな∆および遷移率λ = e^Ω(1/∆) に対して、ランダムな∆-正則二部グラフにおける重み付き独立集合問題（ハードカーブモデル）のFPTASが確立された。
• q ≥ 3 および∆ ≥ 100q^10 の場合に、ランダムな∆-正則二部グラフにおける適切なq色分けの数え上げのためのFPTASが高確率で存在する。
• 本手法は、Jenssen, Keevash, and Perkins (SODA 2019) が提起した、このようなグラフにおけるq色分けのFPTASの存在に関する予想を裏付けた。
• ポリマー・モデルのアプローチは、重複するグラウンドクラスタを効果的に扱い、すべてのクラスタから遠く離れた配置が総数に与える寄与が指数的に小さいことを証明した。
• Kotecký–Preissの条件によりポリマー・モデルの収束が保証され、収束半径がR = 2以上で下から抑えられ、効率的な近似アルゴリズムの存在が保証された。