[論文レビュー] Counting integral matrices with a given characteristic polynomial

Nimish A. Shah|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、一様流の一般化である多項式軌道の等分布性を用いて、与えられた首項で不可約な特性多項式を持つ整数行列の漸近的個数について、簡略化された証明を提供する。これは、Ratnerの定理の一般化であり、多項式が定める数体の代数的数論的不変量を用いて、漸近定数 $C_P$ の正確な公式を導出する。

ABSTRACT

We give a simpler proof of an earlier result giving an asymptotic estimate for the number of integral matrices, in large balls, with a given monic integral irreducible polynomial as their common characteristic polynomial. The proof uses equidistributions of polynomial trajectories on SL(n,R)/SL(n,Z), which is a generalization of Ratner's theorem on equidistributions of unipotent trajectories. We also compute the exact constants appearing in the above mentioned asymptotic estimate.

研究の動機と目的

• 固定された首項で不可約な特性多項式を持つ整数行列の個数に関する漸近的推定値の、より簡潔で直接的な証明を提供すること。
• このような行列の増加率における漸近定数 $C_P$ の正確な値を計算すること。
• $C_P$ を、多項式が定める数体の代数的数論的不変量を明示的に用いて表現すること。
• 多項式的類似の軌道が $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$ 上で等分布することを、漸近的解析の主要な道具として確立すること。
• 特に Eskin-McMullen および Duke-Rudnick-Sarnak の研究で用いられた、エルゴディック理論的アプローチを一般化・簡素化すること。

提案手法

• 一様流の一般化である多項式軌道の等分布性結果の使用。これは、Ratnerの定理（単調流）の拡張である。
• 群作用を介して、行列の個数数え上げ問題を、同調空間上のエルゴディック理論的問題に還元すること。
• 非集束条件の下で、$\Theta: \mathbb{R}^m \to \mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ である多項式写像 $\Theta$ に対して一般化された等分布定理（定理 1.3）を適用すること。ここで $\Theta(0) = I$ である。
• $K\backslash G$ における右 $\Gamma$-作用の基本領域 $\mathfrak{F}$ の構成と、ハール測度および離散部分群を含む体積公式の使用。
• 体積公式 $\mu(G/\Gamma) = \frac{\nu(K)}{\#(K_0 \cap \Gamma)} \cdot \eta(\mathfrak{F})$ を用いて、幾何的および算術的不変量を関連付けること。
• 行列軌道の極限分布が、同調空間上の不変測度に対応することの検証により、漸近的個数数え上げを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された首項で不可約な特性多項式 $P$ を持つ $n \times n$ 整数行列の個数の正確な漸近的増加率は何か？
• RQ2 $C_P$ は、$\alpha$ を $P$ の根とする数体 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ の代数的数論的不変量を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 多項式軌道が $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 上で等分布することを用いて、過去のエルゴディック理論的道具を回避する直接的証明が可能か？
• RQ4 $\mathcal{O}_K$ が $\mathbb{Z}[\alpha]$ と一致する条件は何か？ そして、これは $C_P$ の漸近的公式にどのように影響するか？
• RQ5 公式における三つの体積成分の幾何的および算術的解釈は何か？

主な発見

• 特性多項式 $P$ を持つ整数行列の漸近的個数は、$C_P T^{n(n-1)/2}$ のように増加し、ここで $C_P > 0$ は $P$ に依存する定数である。
• 仮定として $\mathbb{Z}[\alpha]$ が $K = \mathbb{Q}(\alpha)$ の整閉包であるとき、$C_P$ の正確な値は $\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}hR}{w\sqrt{D}} \cdot \frac{\pi^{m/2}/\Gamma(1 + m/2)}{\prod_{s=2}^n \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)}$ で与えられる。ここで $m = n(n-1)/2$ である。
• $C_P$ は三つの幾何的体積成分に分解される：類群商 $J^0(K)/K^\times$ の体積、$\mathbb{R}^m$ 内の単位球の体積、およびミンコフスキー基本領域における行列式が 1 の表面の体積。
• 公式は、$\mathbb{Z}[\alpha]$ が $K$ における整閉包である場合に有効であり、たとえば $\alpha$ が単位根である場合には成立する。
• 非集束および非退化条件の下で、$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 上での多項式軌道の等分布性が確立され、Ratnerの定理を一般化する。
• 証明により、$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ による行列軌道の極限分布が、同調空間上の唯一の不変測度に一致することが示され、正確な漸近的個数数え上げが可能になる。