[論文レビュー] Counting invariants for the ADE McKay quivers

Amin Gholampour, Yunfeng Jiang|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、二面体的多面体群に付随するADE McKayクーヴィー表現における不変量の数え上げのためのウォールクロッシング枠組みを確立し、安定性条件を通じてDonaldson-Thomas (DT)、Pandharipande-Thomas (PT)、非可換DT (NCDT) 不変量を結びつける。$ Y = S \times \mathbb{C} $ におけるPTの生成関数に対して、対応するADEルート系の正ルートを用いて閉形式の表現を得ており、DT/PT対応の仮定の下でGW/DT/NCDT対応を検証している。

ABSTRACT

We consider the moduli space of the McKay quiver representations associated to the binary polyhedral groups G < SU(2) < SU(3). The derived category of such representations is equivalent to the derived category of coherent sheaves on the corresponding ADE resolution Y=G-Hilb(C^3). Following the ideas of Nagao and Nakajima, by making particular choices of parameters in the space of stability conditions on the equivalent derived categories above, we recover Donaldson-Thomas (DT), Pandharipande-Thomas (PT) and Szendroi (NCDT) moduli spaces. We also compute the Gromov-Witten (GW) partition function of Y directly and express the result in terms of the root system of the associated ADE Dynkin diagram. We then verify the conjectural GW/DT/NCDT-correspondence by assuming the DT/PT-correspondence. The Szendroi invariants are the same as the orbifold Donaldson-Thomas invariants for C^3/G defined by Bryan. This will allow us to verify the Crepant Resolution Conjecture for the orbifold Donaldson-Thomas theory in this case.

研究の動機と目的

• ADE解体 $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ 上の連接層の導来圏における不変量の数え上げのためのウォールクロッシング枠組みを確立すること。
• McKayクーヴィー表現上の安定性条件を通じて、DT、PT、NCDT不変量を関連付けること。
• $ Y $ のGromov-Witten生成関数を直接計算し、対応するADEルート系を用いて表現すること。
• DT/PT対応の仮定の下で、GW/DT/NCDT対応を検証すること。
• ADE McKayクーヴィー設定におけるオービフォルトDT不変量のためのCrepant Resolution Conjectureを証明すること。

提案手法

• $ G \to SU(2) $ に対する $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ 上の連接層の導来圏と、McKayクーヴィー表現の導来圏との同倣を用いる。
• 安定性条件の空間における特定の安定性パラメータの選択により、Nagao-Nakajima風のウォールクロッシング公式を適用する。
• PT生成関数をADEルート系の正ルート全体を走る積として構成し、根の重複度と $ (-q)^m $ 要素によって指数が定まる。
• GW/PT対応に従い、$ -q = e^{i\bar{\nu}} $ をPT生成関数に代入することでGromov-Witten生成関数を表現する。
• 根格子を $ H_2(Y, \mathbb{Z}) $ と同一視することで曲線類をパrameter化し、不変量をルート系データに関連付ける。
• カットリング補題とウォールクロッシング公式を用いて非一般のウォールを解析し、チャネル間での不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来圏 $ Y = G\text{-Hilb}(\mathbb{C}^3) $ におけるウォールクロッシング公式を、ADE McKayクーヴィーのためのDT、PT、NCDT不変量を関連付けるためにどのように用いることができるか？
• RQ2 $ S $ がADE解体であるとき、$ Y = S \times \mathbb{C} $ のPandharipande-Thomas生成関数の明示的形は何か？
• RQ3 $ Y $ のGromov-Witten生成関数は、関連するADEダイニン図のルート系とどのように関係するか？
• RQ4 ウォールクロッシングと安定性パラメータ解析を用いて、非トーリックな設定でもGW/DT/NCDT対応を検証できるか？
• RQ5 ADE McKayクーヴィー設定におけるオービフォルトDonaldson-Thomas不変量について、Crepant Resolution Conjectureは成り立つか？

主な発見

• $ Y = S \times \mathbb{C} $ のPT生成関数は、$ Z^{S\times\mathbb{C}}_{PT}(q;\bt) = \textstyle\bigprod_{\beta \neq 0} \bigprod_{m=1}^\f \big(1 - \bt^\beta (-q)^m\big)^{-m} $ で与えられ、ここで $ \beta $ はADEルート系の正ルートを走る。
• Gromov-Witten生成関数は、PT生成関数に $ -q = e^{i\bar{\nu}} $ を代入することで得られ、GW/PT対応が確認される。
• McKayクーヴィーのNCDT不変量は、Bryanによって定義された $ \mathbb{C}^3/G $ のオービフォルトDT不変量と一致することが示された。
• ウォールクロッシング公式により、NCDT生成関数を繰り返し適用することで、全PT生成関数が導出可能である。
• PT生成関数の構造は $ D_5 $ のルート系と一致し、各因子が $ D_5 $ ルート系の正ルートに対応する。
• 結果として、DT/PT対応の仮定の下でGW/DT/NCDT対応が検証され、この場合におけるオービフォルトDT理論のCrepant Resolution Conjectureが証明された。