[論文レビュー] Counting Lattice Points by means of the Residue Theorem

Matthias Beck|ArXiv.org|Jun 2, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、留数定理を用いてn次元格子単体のEhrhart多項式を計算する新規な手法を提示する。この手法は、単位根における留数とz=1における極における留数を含む明示的公式を導出する。主な貢献は、Ehrhart–Macdonald双対性の法則に対する留数論的証明と、Ehrhart係数を計算するアルゴリズム的アプローチであり、2次元余次元の例で示され、一般の凸格子多面体へと拡張可能である。

ABSTRACT

We use the residue theorem to derive an expression for the number of lattice oints in a dilated n-dimensional tetrahedron with vertices at lattice points on each coordinate axis and the origin. This expression is known as the Ehrhart polynomial. We show that it is a polynomial in t, where t is the integral dilation parameter. We prove the Ehrhart-Macdonald reciprocity law for these tetrahedra, relating the Ehrhart polynomials of the interior and the closure of the tetrahedra. To illustrate our method, we compute the Ehrhart coefficient for codimension 2. Finally, we show how our ideas can be used to compute the Ehrhart polynomial for an arbitrary convex lattice polytope.

研究の動機と目的

• 格子単体のEhrhart多項式を複素解析を用いて計算する初等的な手法の開発。
• 留数計算を用いてn次元単体に対してEhrhart–Macdonald双対性の法則を証明すること。
• 2次元余次元単体のEhrhart係数$c_{n-2}$を、この手法の具体例として計算すること。
• 多変数留数積分を用いて、留数論的アプローチを任意の凸格子多面体へと拡張すること。

提案手法

• 生成関数を用いて、$ t\bar{\frak{P}} $ に含まれる格子点の数をローラン級数の係数として表現する。
• z=0における留数が$ L(\bar{\frak{P}}, t) - 1 $を与えるような、z=0、z=1、および$ \Omega $内の単位根における極を持つ、メロモルフィック関数$ f_{-t}(z) $を定義する。
• リーマン球面上で留数定理を適用し、無限遠点における留数が0であることに注意して、$ L(\bar{\frak{P}}, t) $ をz=1および$ \lambda \in \Omega $における留数の和として表現する。
• 変数変換$ z = e^w $を用いてz=1における留数を計算し、w=0における留数計算へと問題を変換する。
• 単位根$ \lambda \in \Omega $における留数を、局所的なローラン展開を用いて取り扱い、一般化されたデデキンド和と関連付ける。
• q次元トーラス上の積分を用いて、一般の凸格子多面体へと拡張する。この際、多変数生成関数を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子単体のEhrhart多項式は、複素解析および留数定理を用いて計算可能か？
• RQ2 このような単体に対して、Ehrhart–Macdonald双対性の法則は留数計算を用いてどのように導出可能か？
• RQ3 Ehrhart係数、特に$ c_{n-2} $の構造は何か？また、それらは明示的に計算可能か？
• RQ4 この留数論的アプローチは、任意の凸格子多面体へと一般化可能か？

主な発見

• 留数解析を用いて、Ehrhart多項式$ L(\bar{\frak{P}}, t) $がtに関する多項式であることが証明され、このクラスの単体に対してEhrhartの定理が裏付けられる。
• z=1における留数は、パrameter $ a_1, \dots, a_n $ に有理的に依存する係数を持つ、tに関する有理関数である。
• Ω内の単位根における留数は、一般化されたデデキンド和を導出し、それらは高階のEhrhart係数を符号化する。
• Ehrhart多項式の最初の非自明な係数$ c_{n-2} $は、2次元余次元単体に対して明示的に計算された。
• q次元トーラス上での多変数留数積分として定式化することにより、一般の凸格子多面体への応用が可能である。
• このアプローチにより、多変数留数計算を用いて、任意の凸格子多面体のEhrhart多項式を体系的に計算する方法が得られる。