[論文レビュー] Counting lattice walks by winding angle

Andrew Elvey Price|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Kreweras格子の新しい分解を導入し、長さ、終点、巻き数をカウントする生成関数の関数方程式を導出し、Jacobiのシータ関数を用いて解く。主な貢献は、角度 $\frac{2\pi}{3}$ の錐領域に制限された歩行の正確な生成関数の表現を提供することであり、これにより代数的および漸近的解析が可能になる。得られた結果は、正方形格子、正三角格子、キング格子へも拡張可能である。

ABSTRACT

We address the problem of counting walks by winding angle on the Kreweras lattice, an oriented version of the triangular lattice. Our method uses a new decomposition of the lattice, which allows us to write functional equations characterising a generating function of walks counted by length, endpoint and winding angle. We then solve these functional equations in terms of Jacobi theta functions. By using this result in conjunction with the reflection principle, we count walks confined to a cone of opening angle any multiple of $\fracπ{3}$, allowing us to extract asymptotic and algebraic information for these walks. Our method and results extend analogously to three other lattices, including the square lattice and triangular lattice. On the square lattice, most of our results were derived by Timothy Budd in 2017, so the current work can be seen as an extension of Budd's results to the three other lattices that we consider. Budd's method of deducing these results was very different, as it was based on an explicit eigenvalue decomposition of certain matrices counting paths in the lattice.

研究の動機と目的

• Kreweras格子（有向正三角格子）における巻き数別に格子歩行を数えるための新しい手法を開発すること。
• 歩行の長さ、終点、巻き数を符号化する生成関数の関数方程式を導出すること。
• Jacobiのシータ関数を用いてこれらの関数方程式を解き、錐領域に制限された歩行に応用すること。
• 正方形格子、正三角格子、キング格子を含む他の格子に対してもこの手法を拡張し、正方形格子に関する先行研究と整合性を持つ結果を得ること。
• $\frac{2\pi}{3}$ およびその倍数の角度を持つ錐領域における歩行の生成関数の代数的および漸近的性質を分析すること。

提案手法

• Kreweras格子上の歩行をモデル化するための新しい格子分解を導入し、生成関数の関数方程式を導出する。
• Jacobiのシータ関数 $\vartheta(z,\tau)$ の導関数に関連するべき級数 $T_k(u,q)$ を定義し、これが生成関数の解を符号化することを示す。
• 関数方程式を用いて、セル中心のKreweras歩行の生成関数 $E(t,s)$ および頂点中心の歩行の生成関数 $\tilde{E}(t,s)$ を $T_k$ 級数で表現する。
• 反射原理を適用し、錐領域内の歩行の生成関数を全生成関数 $\tilde{E}(t,s)$ と関連づけ、単位根フィルタを用いる。
• $\tilde{E}(t,s)$ の構造と単位根における挙動を活用し、錐領域制限付き歩行の代数的性質および漸近的挙動を導出する。
• 積分変換およびフーリエ逆変換を用いて、開口角 $\frac{2\pi}{k_2 - k_1}$ の錐領域内の歩行の係数の漸近的性質を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kreweras格子上における格子歩行を、関数方程式を用いて巻き数別に体系的に数える方法は何か？
• RQ2 セル中心のKreweras格子上、原点付近を出発・終了する歩行の生成関数の正確な形は何か？ ただし、長さと巻き数をパrameterとする。
• RQ3 反射原理を用いて、開口角 $N\pi/3$ の錐領域に制限された歩行の生成関数をどのように抽出できるか？
• RQ4 錐領域制限付き歩行の生成関数が代数的またはD-有限であるための条件は何か？
• RQ5 開口角 $\beta = \frac{(k_2 - k_1)\pi}{3}$ の錐領域における歩行の数の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• セル中心のKreweras歩行の生成関数 $E(t,s)$ は、$T_k(u,q)$ 級数で表現され、$q(t)$ は $T_1(1,q^3)$ と $T_0(q,q^3)$ を含む非自明な関数方程式を満たす。
• 頂点中心のKreweras歩行の生成関数 $\tilde{E}(t,s)$ は $T_k$ 級数を用いて導出され、$s$ が立方根でない単位根である場合、$t$ に関して代数的であることが示された。
• $s = e^{i\alpha}$ で $\alpha \in (0,\pi) \setminus \{2\pi/3\}$ のとき、係数 $[t^n]\tilde{E}(t,s)$ は漸近的に $n^{-\frac{3\alpha}{2\pi} - 1} 3^n$ に比例し、複素係数を伴う。
• 開口角 $\frac{2\pi}{3}$（例：ステップ集合 $\{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}$ の四分円歩行）の錐領域における生成関数は代数的であり、既知の結果と一致する。
• 開口角 $\frac{5\pi}{6}$ の錐領域では、生成関数 $\tilde{E}_{0,-2,3}(t)$ は代数的であり、$\tilde{E}(t,\omega)$ の第5根の単位根に関する和として表現される。
• 錐領域制限付き歩行の漸近的成長は $[t^n]\tilde{E}_{k,k_1,k_2}(t) \sim C n^{-1 - \frac{3}{k_2 - k_1}} 3^n$ であり、$C$ はガンマ関数および三角関数を用いて明示的に与えられる。