[論文レビュー] Counting linear extensions of restricted posets

Kozma, László|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、高さ2の半順序集合、グラフのインシデント半順序集合、次元2の半順序集合という3つの制限付きクラスの線形拡張の数え上げ問題が#P完全であることを確立した。数論的還元と論理ゲートを符号化する代数的系のコンピュータ支援構築を用いて、構造的制約があるにもかかわらずこれらの問題が計算的に困難であることを証明し、組合せ論と計算複雑性理論における長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

Partially ordered sets (posets) are fundamental combinatorial objects with important applications in computer science. Perhaps the most natural algorithmic task, given a size-n poset, is to compute its number of linear extensions. In 1991 Brightwell and Winkler showed this problem to be #P-hard. In spite of extensive research, the fastest known algorithm is still the straightforward O(n 2ⁿ)-time dynamic programming (an adaptation of the Bellman-Held-Karp algorithm for the TSP). Very recently, Dittmer and Pak showed that the problem remains #P-hard for two-dimensional posets, and no algorithm was known to break the 2ⁿ-barrier even in this special case. The question of whether the two-dimensional problem is easier than the general case was raised decades ago by Möhring, Felsner and Wernisch, and others. In this paper we show that the number of linear extensions of a two-dimensional poset can be computed in time O(1.8286ⁿ). The related jump number problem asks for a linear extension of a poset, minimizing the number of neighboring incomparable pairs. The problem has applications in scheduling, and has been widely studied. In 1981 Pulleyblank showed it to be NP-complete. We show that the jump number problem can be solved (in arbitrary posets) in time O(1.824ⁿ). This improves (slightly) the previous best bound of Kratsch and Kratsch.

研究の動機と目的

• 1991年以来未解決のままだった、高さ2の半順序集合における線形拡張の数え上げ問題が#P完全であるかどうかを解明すること。
• 非線形組合せ最適化に動機づけられ、グラフのインシデント半順序集合へのこの結果の拡張。
• 1988年にM"ohringが提起し、1997年にFelsnerとWernischが再考した問題として、次元2の半順序集合における線形拡張の数え上げ問題の#P完全性を証明すること。
• 次元2の半順序集合問題と弱Bruhat順序における主理想のサイズとの同値性を確立し、後者も#P完全であることを証明すること。
• FPRASと多項式時間で解ける部分問題を有するが、一般には依然として計算的に困難であるという、非常に構造的で明確な半順序集合の性質を示すこと。

提案手法

• #3SATからターゲットの数え上げ問題への還元に、mod p 論法と中国剰余定理を用いる。
• 複素数体上での論理ゲート（Swap, AndOr, TestEq）を符号化するため、5変数（次数≤5）の非同次多項式の代数的系を構築する。
• Macaulay2を用いたコンピュータ代数により、1ゲートあたり96通りの候補置換の探索を行い、ℂ上に非自明な解を持つ系を同定する。
• #3SATから#RigidCircuitへのパーサモニウス還元を行い、その後#RigidCircuitから#Bruhat（弱Bruhat順序）への複雑な還元連鎖を構築する。
• コンピュータ生成ゲートの正しさを直接代数的検証により検証し、還元がパーサモニウスであることを保証する。
• 次元2の半順序集合と弱Bruhat順序の双対性を活用し、同等の組合せ的モデル間で困難性の結果を移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ2の半順序集合における線形拡張の数え上げ問題は#P完全か？
• RQ2 グラフのインシデント半順序集合の線形拡張の数え上げは#P完全か？
• RQ3 1988年にM"ohringが予想したように、次元2の半順序集合における線形拡張の数え上げ問題は#P完全か？
• RQ4 弱Bruhat順序における主理想のサイズ（すなわち、バブルソート順序下での与えられた置換以下にある置換の数）は多項式時間で計算可能か？
• RQ5 コンピュータ支援代数的手法を用いて、組合せ論における#P完全性証明のパーサモニウス還元を構築できるか？

主な発見

• 高さ2半順序集合の線形拡張数え上げ問題（#H2LE）は#P完全であり、BrightwellとWinklerによる27年間の予想を解決した。
• グラフのインシデント半順序集合の線形拡張数え上げ問題（#IPLE）は#P完全であり、これは#H2LEの困難性を示唆する。
• 次元2半順序集合の線形拡張数え上げ問題（#D2LE）は#P完全であり、1988年のM"ohringの予想を裏付けた。
• 弱Bruhat順序における主理想のサイズ問題（#Bruhat）は#P完全であり、代数的組合せ論における基本的問題の困難性を確立した。
• #D2LEの#P完全性の証明は、論理ゲートを符号化する12変数代数的系のコンピュータ支援構築に依拠しており、それぞれ2、47、4つの置換に対してℂ上に非自明な解が得られた。
• 著者らは#3SATから#RigidCircuit、さらに#Bruhatへのコンピュータ検証済み還元を提供し、後者の段階は1ゲートあたり96通りの置換を体系的に探索することで発見されたゲートに依存している。