[論文レビュー] Counting Markov Equivalence Classes by Number of Immoralities

Adityanarayanan Radhakrishnan, Liam Solus+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、与えられたスケルトン G における MEC の列挙の組合せ論的構造を研究するために、悪態性の数で MEC を数える M(G;x) と MEC のサイズで数える S(G;x) という2つの母関数を導入する。最大の悪態性数を計算することは NP 困難であることを証明し、S(G;x) が10ノード以下の連結グラフを一意に特定できることを示し、古典的な組合せ最適化問題と新たな関係を確立する。

ABSTRACT

Two directed acyclic graphs (DAGs) are called Markov equivalent if and only if they have the same underlying undirected graph (i.e. skeleton) and the same set of immoralities. Using observational data, a DAG model can only be determined up to Markov equivalence, and so it is desirable to understand the size and number of Markov equivalence classes (MECs) combinatorially. In this paper, we address this enumerative question using a pair of generating functions that encode the number and size of MECs on a skeleton $G$, and in doing so we connect this problem to classical problems in combinatorial optimization. The first is a graph polynomial that counts the number of MECs on $G$ by their number of immoralities. Using connections to the independent set problem, we show that computing a DAG on $G$ with the maximum possible number of immoralities is NP-hard. The second generating function counts the MECs on $G$ according to their size. Via computer enumeration, we show that this generating function is distinct for every connected graph on $p$ nodes for all $p\leq 10$.

研究の動機と目的

• 与えられたスケルトン G におけるマークフ・同値クラス（MEC）の組合せ的構造を理解すること。
• MEC の悪態性数やサイズによる列挙の複雑さを解明すること。
• MEC 列挙と、独立集合や頂点被覆問題などの古典的組合せ最適化問題との関係を確立すること。
• MEC サイズの周波数ベクトル（または算術的母関数 S(G;x)）がスケルトンを一意に特定するかどうかを特定すること。
• ノード数が10以下のすべての連結グラフに対して、MEC 統計を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。

提案手法

• mₖ(G) を G 上に正確に k 個の悪態性を持つ MEC の数とする。M(G;x) = Σₖ mₖ(G)xᵏ として、グラフ多項式を定義する。
• sₖ(G) を G 上にサイズ k の MEC の数とする。算術的母関数 S(G;x) = Σₖ (sₖ(G)/kˣ) を導入する。
• p ≤ 10 ノードのすべての連結グラフに対して、M(G;x) と S(G;x) を計算機的列挙によって評価する。
• nauty および Traces ソフトウェアを用いてグラフ同型性と標準ラベル化を処理し、正確なスケルトン処理を保証する。
• Java で実装されたメモリ効率の良いアルゴリズムを用い、各スケルトンごとに MEC 数、悪態性数、誘導3パス数、次数列、三角形数を追跡する。
• 三角形を含まないグラフ上の頂点被覆問題とそのスターデコンポジションとの関係を用いて、M(G;x) の次数を計算することは NP 困難であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪態性数を追跡する母関数を用いて、スケルトン G における MEC 数を効率的に計算できるか？
• RQ2 MEC サイズを符号化する母関数 S(G;x) は、ノード数 p ≤ 10 の各連結グラフ G に対して一意的か？
• RQ3 スケルトン G に配置可能な最大の悪態性数を決定する計算複雑性は何か？
• RQ4 母関数 M(G;x) と S(G;x) は、独立集合や頂点被覆問題などの古典的組合せ問題とどのように関係するか？
• RQ5 非同型のスケルトンが同じ MEC 頻度ベクトル S(G;x) を持つことはあり得るか？ もしあるなら、その衝突が発生する条件は何か？

主な発見

• 悪態性数で MEC を数える母関数 M(G;x) は、三角形を含まないグラフ上の頂点被覆問題に帰着可能であるため、計算が NP 困難であることが示された。
• MEC サイズを符号化する母関数 S(G;x) は、ノード数 p ≤ 10 のすべての連結グラフに対して一意的である。これは、MEC サイズ分布がそのようなスケルトンを一意に特定することを示唆する。
• ノード数が10以下のすべてのグラフにおいて、S(G;x) の衝突は、2つのグラフが同型な連結成分を持ち、かつそれらの非重複成分のサイズの積が等しい場合にのみ発生する。
• 著者らのアルゴリズムは、Gillespie と Perlman (2001) と同等の速度で MEC 統計を計算できるが、各スケルトンあたり関連するハッシュデータのみを保存するため、大幅にメモリ効率が良い。
• アルゴリズムは各スケルトンに対して、MEC ごとの悪態性数、次数列、辺数、三角形数、誘導3パス数といったより包括的なデータを収集している。
• ノード数 p ≤ 10 の非同型連結スケルトンの間で、S(G;x) 関数が同一であるペアは存在せず、MEC サイズ分布がこの範囲の連結グラフに対して完全な不変量であるという仮説を支持する。