[論文レビュー] Counting matrices over finite fields with support on skew Young and Rothe diagrams

Aaron J. Klein, Joel Brewster Lewis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特定のランクおよび特定の要素を避けるサポートを持つ有限体上の行列の数を、ねじれヤング図とローテ図に注目して調査する。ハグランドの多項式性結果をねじれヤング図の補集合へと拡張し、行および列の入れ替えによってローテ図がその補集合と同値であるための必要十分条件を確立し、これらの数え上げを強いブルハート順序のピオナーリー多項式に関連付ける。

ABSTRACT

We consider the problem of finding the number of matrices over a finite field with a certain rank and with support that avoids a subset of the entries. These matrices are a q-analogue of permutations with restricted positions (i.e., rook placements). For general sets of entries these numbers of matrices are not polynomials in q (Stembridge 98); however, when the set of entries is a Young diagram, the numbers, up to a power of q-1, are polynomials with nonnegative coefficients (Haglund 98). In this paper, we give a number of conditions under which these numbers are polynomials in q, or even polynomials with nonnegative integer coefficients. We extend Haglund's result to complements of skew Young diagrams, and we apply this result to the case when the set of entries is the Rothe diagram of a permutation. In particular, we give a necessary and sufficient condition on the permutation for its Rothe diagram to be the complement of a skew Young diagram up to rearrangement of rows and columns. We end by giving conjectures connecting invertible matrices whose support avoids a Rothe diagram and Poincare polynomials of the strong Bruhat order.

研究の動機と目的

• 与えられたランクおよび指定された要素を避ける有限体上の行列の数が q における多項式である条件を特定すること。
• ハグランドのヤング図に関する結果を、ねじれヤング図の補集合へと拡張すること。
• 行および列の再配置によって、ある置換のローテ図がねじれヤング図の補集合と同値となるような置換を特徴付けること。
• ローテ図のサポートを避ける可逆行列の数え上げを、強いブルハート順序のピオナーリー多項式に関連付けること。

提案手法

• q-アナローグを用いた置換の数え上げに基づく、制限付きサポートを持つ有限体上の行列の数の母関数を分析する。
• ヤング図およびルーク配置に関する組合せ論的技法を用いて、サポート制約を研究する。
• 行および列の入れ替えを用いて、ローテ図がねじれヤング図の補集合と同値となる条件を分類する。
• 行列の数え上げが q における非負の係数を持つ多項式である条件を特定するための多項式性基準を適用する。
• 対称関数論および q-級数の結果を活用して、母関数の構造的性質を確立する。
• 強いブルハート順序のピオナーリー多項式と、ローテ図のサポートを避ける可逆行列の母関数を結びつける予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の与えられたランクの行列の数が、指定された要素を避けるサポートを持つ場合、q における多項式である条件は何か？
• RQ2 ねじれヤング図の補集合が、行および列の入れ替えによって置換のローテ図と同値となるのはいつか？
• RQ3 どの置換に対して、行および列を再配置した後にローテ図がねじれヤング図の補集合と一致するか？
• RQ4 ローテ図のサポートを避ける可逆行列の母関数は、強いブルハート順序のピオナーリー多項式と関連づけられるか？
• RQ5 制限付きサポートを持つ行列の数え上げが、非負の整数係数を持つ多項式であることを保証する構造的性質は何か？

主な発見

• 特定のねじれヤング図をサポートとする有限体上の与えられたランクの行列の数は、q−1 のべきを除き、非負の整数係数を持つ q における多項式である。
• この結果はねじれヤング図の補集合へと拡張され、同一の条件下で多項式性が確立される。
• 行および列の入れ替えによってローテ図がねじれヤング図の補集合と同値であるための必要十分条件が与えられる。
• この条件は、置換の逆転テーブルおよびそのローテ図の構造に基づく組合せ論的特徴付けとして特徴づけられる。
• 論文は、ローテ図のサポートを避ける可逆行列の母関数と強いブルハート順序のピオナーリー多項式との間の深い関係を予想する。
• 本研究により、行列の数え上げの多項式性が、特定の図の対称性および組合せ論的同値性のもとで保存されること revealed された。