[論文レビュー] Counting, Mixing and Equidistribution of horospheres in geometrically finite rank one locally symmetric manifolds

Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 24被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、無限体積で幾何的に有限なランク1局所対称多様体における拡大する水平超球面の等分布性を確立し、これにより離散群 $\Gamma\subset O_{\mathbb{F}}(n,1)$ による $\mathbb{F}^{n+1}$ 上の群軌道の軌道数え上げに対して、明示的な誤差項を伴う正確な漸近公式を導出する。主な結果は、ノルムが $T$ 未満の軌道点の数が $T^\delta$ の成長率を示し、スペクトルギャップに依存するパワー・セービング誤差項を有するものであり、これによりアポロニウスの球体パッキングにおける素数曲率の球面の数え上げに応用可能である。

ABSTRACT

In this paper we study the equidistribution of expanding horospheres in infinite volume geometrically finite rank one locally symmetric manifolds and apply it to the orbital counting problem in apollonian sphere packing.

研究の動機と目的

• 幾何的に有限で無限体積のランク1局所対称多様体における拡大する水平超球面の等分布性を、Burger-Roblin測度に関して確立すること。
• 離散群 $\Gamma \subset SO(n,1), SU(n,1), Sp(n,1)$ が $\mathbb{F}^{n+1}$ 上に作用する場合の、定量的な軌道数え上げ公式を導出し、誤差項を制御すること。
• 等分布性の結果を、アポロニウスの球体パッキングにおける素数曲率の球面の数え上げ問題に応用すること。
• スペクトルギャップ推定と $L^2$-行列係数技術を組み合わせることで、従来のランク1ケースの結果を拡張すること。

提案手法

• ランク1対称空間における水平超球面の座標を用い、水平超球面をパラメトライズし、数え上げ関数を $N$ および $A$ 上の積分として表現すること。
• $L^2(\Gamma\backslash G)^K$ 上のユニタリ表現理論とスペクトル理論を用い、関数を最下位固有関数 $\phi_0$ と直交補空間に分解すること。
• スペクトルギャップによる行列係数の推定を行い、水平超球面平均の漸近的制御を得る：$\int \psi(n_x a_y) dn \sim y^{D-\delta}$。
• 滑らかなカットオフ関数 $\phi_\epsilon$ の構成と、$\Gamma\backslash G$ 上での平均化によりテスト関数 $\Phi_\epsilon$ を定義し、$L^2$-ノルム推定の適用を可能にする。
• Langlands分解と $M$ 上での平均化を用い、問題を $\Gamma\backslash G/M$ 上の $L^2$-ノルムに還元し、水平超球面平均を制御すること。
• 大スieve法および $r$-素数に近い整数を用いたスieve法を適用し、$k$ 個の曲率が $r$-素数に近い整数である軌道の数の下界を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡大する水平超球面は、幾何的に有限で無限体積のランク1局所対称多様体においてどのように等分布するか？
• RQ2 離散的で幾何的に有限な群 $\Gamma$ による、$\{v \in v_0\Gamma : ||v|| < T\}$ の軌道点の数の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ3 スペクトルギャップと $L^2$-行列係数推定を用いて、軌道数え上げ関数の誤差項を定量的に制御できるか？
• RQ4 水平超球面の等分布性は、アポロニウスの球体パッキングにおける素数曲率の球面の数え上げといった数論的問題にどの程度応用可能か？
• RQ5 曲率がすべて $r$-素数に近い整数である5重の互いに接する球面の組の数の下界は何か？

主な発見

• 軌道数え上げ関数は、$\#\{v \in v_0\Gamma : ||v|| < T\} \sim c_{\phi_0} \delta^{-1} T^\delta \int_K ||v_0(g_0^{-1}kg_0)||^{-\delta} dk$ を満たし、$K$-不変ノルムに明示的な依存関係を示す。
• $K$-不変ノルムの場合、数え上げ関数は $c_{\phi_0} \delta^{-1} ||v_0||^{-\delta} T^\delta (1 + O(T^{-\delta'}))$ に等しく、ここで $\delta'$ はスペクトルギャップに依存する。
• 水平超球面の等分布性は、$L^2$-行列係数の減衰により確立される：$\psi \in L^2_c(\Gamma\backslash G)^K$ に対して $\int \psi(n_x a_y) dn \sim y^{D-\delta}$ が成り立ち、$D$ は境界のハウスドルフ次元である。
• $k$ 個の曲率が $r$-素数に近い整数である5重の組の数の下界は、$\pi_k^{\mathcal{P}}(T)^r \gg \frac{T^{\delta_\Gamma}}{\log^k T}$ を満たし、$r$ はスペクトルギャップに依存する。
• 本結果は、[23]の結果を実、複素、クaternion的双曲空間を含む一般のランク1ケースに拡張したものである。
• アポロニウスの球体パッキングへの応用により、数え上げ関数にパワー・セービング誤差項が得られ、スieve法を用いて $r$-素数に近い曲率を数えることが可能になる。