[論文レビュー] Counting non-isomorphic maximal independent sets of the n-cycle graph

Raymond Bisdorff, Jean‐Luc Marichal|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2007

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ひとこと要約

この論文は、n次サイクルグラフ $C_n$ における非同型でラベルなしの最大独立集合（MIS）の数を数えるための正確な組合せ公式を提示する。これは、MISの集合に二面体群 $D_{2n}$ の作用を適用することで得られる。Perrin数列とPadovan数列を含む閉形式の式が導出され、非同型MISの数は $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ で与えられる。ここで $p(n)$ はPerrin数列、$r(n)$ は対称的MISの数を表す。

ABSTRACT

The number of maximal independent sets of the n-cycle graph C_n is known to be the nth term of the Perrin sequence. The action of the automorphism group of C_n on the family of these maximal independent sets partitions this family into disjoint orbits, which represent the non-isomorphic (i.e., defined up to a rotation and a reflection) maximal independent sets. We provide exact formulas for the total number of orbits and the number of orbits having a given number of isomorphic representatives. We also provide exact formulas for the total number of unlabeled (i.e., defined up to a rotation) maximal independent sets and the number of unlabeled maximal independent sets having a given number of isomorphic representatives. It turns out that these formulas involve both Perrin and Padovan sequences.

研究の動機と目的

• n次サイクルグラフ $C_n$ における非同型の最大独立集合（MIS）を、二面体的対称性（回転と反転）の下で数えること。
• 軌道（非同型MIS）の数および、同じ代表元をもつ軌道の数の正確な公式を導出すること。
• 回転のみを許容するラベルなしMISの定義に拡張し、対応する正確な公式を提供すること。
• MISの組合せ的数え上げと、特にPerrin数列とPadovan数列を含むよく知られた整数数列との関係を確立すること。

提案手法

• $C_n$ のMISの族に二面体群 $D_{2n}$ の作用を適用し、回転と反転の下でMISを軌道に分割すること。
• 軌道-安定化部分群定理を用い、軌道のサイズと安定化部分群のサイズの関係 $|\mathrm{Orb}(X)| \times |\mathrm{Stab}(X)| = 2n$ を確立すること。
• $\mathrm{orb}(n)$ を非同型MISの総数（軌道の数）と定義し、$\mathrm{orb}_d(n)$ を安定化部分群のサイズが $d$ の軌道の数と定義し、乗法的数論的関数を用いること。
• Perrin数列 $p(n)$ とEulerのトータル関数 $\phi(n)$ を用いた公式により $\mathrm{orb}(n)$ を表現：$\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$。
• ラベルなしMIS（回転のみを許容）の概念を導入し、$\mathrm{orb}^\sigma(n)$ を定義し、$2\mathrm{orb}(n) - r(n)$ に等しいことを示すこと。
• Dirichlet畳み込みとMöbius逆転を用い、回転対称性のないラベルなしMISの数 $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$ を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次サイクルグラフ $C_n$ における非同型の最大独立集合は、二面体的対称性の下でいくつ存在するか？
• RQ2 二面体群 $D_{2n}$ の作用において、正確に $k$ 個の同型代表元をもつ軌道（非同型MIS）の数は何か？
• RQ3 $C_n$ におけるラベルなし最大独立集合（回転のみを許容）はいくつ存在し、そのうち $k$ 個の同型代表元をもつものはどれくらいか？
• RQ4 MISの数え上げとPerrin数列およびPadovan数列との関係は何か？

主な発見

• 非同型MISの総数 $\mathrm{orb}(n)$ は、$\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ で与えられる。ここで $p(n)$ はPerrin数列、$r(n)$ は反転で不変となるMISの数を表す。
• 対称軸を持たない（すなわち、安定化部分群のサイズが1の）非同型MISの数は $\mathrm{orb}_1(n) = \mathrm{orb}(n) - r(n)$ であり、これは部分が2と3である $n$ の非回文的循環的合成の数に等しい。
• ラベルなしMISの数（回転のみを許容）は $\mathrm{orb}^\sigma(n) = 2\mathrm{orb}(n) - r(n)$ で与えられ、これはOEISの数列A127687と一致する。
• 正確に $n/d$ 個の同型代表元をもつラベルなしMISの数は $\mathrm{orb}_d^\sigma(n)$ で与えられ、これは $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$ をDirichlet畳み込みにより計算できる。
• 素数 $n$ に対しては $\mathrm{orb}(n) = \mathrm{orb}_1(n) + \mathrm{orb}_2(n)$ が成り立ち、$\mathrm{orb}_2(n) = r(n)$ であり、$\mathrm{orb}^\sigma(n) = \frac{1}{n}p(n)$ となる。これは高い対称性と均一な軌道構造を反映している。
• 最初の40個の $\mathrm{orb}(n)$ と $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ の値が表形式で示され、$\mathrm{orb}(n)$ と $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ がそれぞれPerrin数列とPadovan数列に従って成長することが確認された。