[論文レビュー] Counting Number Fields in Fibers

Yuri Bilu, Jean Gillibert|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、DvornicichおよびZannierの結果を、有理数体 ℚ から任意の数体 K に一般化し、曲線上の有理関数の纤维から生じる数体の合成体における次数の増大に関する結果を拡張する。曲線 X を数体 K 上にとり、次数 n の有理関数 t をとる。H(τ) ≤ B を満たす K の整数環の元 τ に対して、K(P_τ) の合成体は K 上で少なくとも exp(cB^d / log B) の次数を持つ。ここで d は K/ℚ の次数、c は K、 genus g、n に依存する定数である。これは、K(P_τ) のうち少なくとも cB^d / log B 個の異なる数体が存在することを意味する。

ABSTRACT

Let X be a projective curve over Q and t a non-constant Q-rational function on X of degree n>1. For every integer a pick a points P(a) on X such that t(P(a))=a. Dvornicich and Zannier (1994) proved that for large N the field Q(P(1), ..., P(N)) is of degree at least exp(cN/log N) over Q, where c>0 depends only on X and t. In this note we extend this result, replacing Q by an arbitrary number field.

研究の動機と目的

• DvornicichおよびZannierの、曲線上の有理関数の纤维から生じる数体の合成体における次数増大に関する結果を、基本体 ℚ から任意の数体 K に一般化すること。
• K 上の曲線 X と非定数有理関数 t に対して、τ が K の整数環の元であるような K(P₁, ..., P_N) の K 上の次数に対する下界を確立すること。
• K(P_τ) のうち、H(τ) ≤ B を満たす τ に対して、異なる数体の数を、ℚ における対数的数え上げから任意の数体へ拡張して定量化すること。
• 曲線および関数の算術的不変量（genus および次数）を含め、τ の高さおよびその関連する不変量に関して一様な境界を与えること。

提案手法

• K の整数環 𝒪_K 上の高さ関数 H(τ) を用いて、τ ∈ 𝒪_K に対する纤维 t⁻¹(τ) をパrameter化すること。
• Hilbert の可約性定理およびその有効版を用いて、多くの τ に対して K(P_τ) が K 上で次数 n を持つことを保証すること。
• 有限および無限の場所における局所的解析（v-進完備化および厳密なヘンゼル化を含む）を用いて、分岐の性質を調べること。
• Abhyankar の補題および正規被覆理論を用いて、場所 v における局所拡張 K_v(P)/K_v(t(P)) の分岐を解析すること。
• 分岐が生じうる素数の有限集合 S（2 および判別式を割る素数を含む）を構成し、S の外で不分岐な拡張を解析すること。
• 薄い集合の理論およびChebotarevの密度定理を用いて、纤维が既約であるか、拡張が大きいような τ の密度を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K を ℚ 上の次数 d の数体とし、X を K 上の曲線、t を次数 n ≥ 2 の非定数有理関数とする。H(τ) ≤ B を満たす τ ∈ 𝒪_K に対して、K(P_τ) の合成体の最小次数は何か？
• RQ2 H(τ) ≤ B を満たす τ に対して、{K(P_τ) : τ ∈ 𝒪_K} の中で異なる数体の数は、B および K, X, t の不変量の関数としてどのように変化するか？
• RQ3 ℚ から任意の数体 K への合成体の次数に対する下界の拡張は可能か？また、[K:ℚ] の値は増大率にどのように影響するか？
• RQ4 τ および関数 t の場所 v における局所的挙動が、拡張 K_v(P)/K_v(t(P)) が不分岐または正規分岐である条件は何か？
• RQ5 関数 t の分岐点における分岐が、t(P) − α（α は分岐点）の v-進付値とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の ℚ 上の次数 d の数体 K と、K 上の genus g の曲線 X および次数 n ≥ 2 の非定数有理関数 t に対して、正の定数 c と B₀ > 1 が存在し、すべての B ≥ B₀ に対して、H(τ) ≤ B を満たす τ ∈ 𝒪_K に対する K(P_τ) の合成体は、K 上で少なくとも exp(cB^d / log B) の次数を持つ。
• H(τ) ≤ B を満たす τ に対して、{K(P_τ) : τ ∈ 𝒪_K} の中で異なる数体の数は、K, g, n に依存するある正の定数 c に対して、少なくとも cB^d / log B 個存在する。
• 増大率 exp(cB^d / log B) は、最適である。これは、X が曲線 y² = x で t = x の古典的ケースにおいて、K(P_τ) = K(√τ) であり、合成体が K(√p : p ≤ B) で次数 2^{π(B)} ≈ exp(cB / log B) となることと一致する。この場合、指数部分に d が現れるが、境界と一致する。
• 本結果は、t⁻¹(τ) の点 P_τ の選び方に依存せず一様に成り立つため、このような選択に対して境界が頑健であることが示された。
• 証明は場所 v における局所的解析に依拠しており、分岐点 α に対して v(t(P) − α) > 0 かつその付値が分岐指数 e で割り切れない場合、拡張 K_v(P)/K_v(t(P)) は分岐する。この現象が、全体の次数増大に寄与する。
• Jean Gillibert による付録では、厳密なヘンゼル化および形式的スキームを用いたより自然な局所的分岐解析のアプローチが提供されており、被覆の引き戻し構造の理解が明確化されている。