[論文レビュー] Counting number fields of fixed degree by their smallest defining polynomial

Santiago Arango-Piñeros, Fabian Gundlach+6 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 0

ひとこと要約

論文は、高さが最大Xのほぼすべての次数nの多項式がGL2×GL1軌道によって異なる数体を定義することを証明し、最小定義多項式の高さ≤Xの次数nの数体の漸近公式を得る：n=2では27/π^2 X^2、n≥3ではC_n X^{n+1}。

ABSTRACT

When do two irreducible polynomials with integer coefficients define the same number field? One can define an action of $\mathrm{GL}_2 imes \mathrm{GL}_1$ on the space of polynomials of degree $n$ so that for any two polynomials $f$ and $g$ in the same orbit, the roots of $f$ may be expressed as rational linear transformations of the roots of $g$; thus, they generate the same field. In this article, we show that almost all polynomials of degree $n$ with size at most $X$ can only define the same number field as another polynomial of degree $n$ with size at most $X$ if they lie in the same orbit for this group action. (Here we measure the size of polynomials by the greatest absolute value of their coefficients.) This improves on work of Bhargava, Shankar, and Wang, who proved a similar statement for a positive proportion of polynomials. Using this result, we prove that the number of degree $n$ fields such that the smallest polynomial defining the field has size at most $X$ is asymptotic to a constant times $X^{n+1}$ as long as $n\geq 3$. For $n = 2$, we obtain a precise asymptotic of the form $\frac{27}{π^2} X^2$.

研究の動機と目的

• smallest defining polynomial で定義される自然な高さ関数による数体の計数を動機づける。
• GL2×GL1 による多項式の同値性を共通の場の定義と関連づける。
• P^1-height によって順序付けられた次数nの数体の漸近計数を確立する。
• height ≤ X のほとんどの多項式は、同じ軌道に入らない限り異なる場を定義する。

提案手法

• 整数係数をもつ二項n次型 f を V_n の不可約次数 n 多項式としてモデル化する。
• G(B) = (B^× × GL2(B))/T(B) の作用を用いて、対応する環の同一性を識別する等値を用いる。
• 二項形を rank-n の環 R_f に結びつけ、S_n-closure を用いて Minkowski 基長を研究する。
• ほとんどの f に対して S_n-closure が高度に非対称になることを証明し、同値性を同じ GL2×GL1 軌道に閉じ込める濾過を可能にする。
• Duke の等分布定理（負の判別式）と Chelluri の拡張（正の判別式）を適用して P^1-height による二次形を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^1-height ≤ X の次数nの数体 K の数 N_n(Ht < X) の漸近成長率はどのくらいか。
• RQ2 異なる不可約多項式が同じ数体を定義する程度はどの程度か、非同値な形が同じ場を与える頻度はどのくらいか。
• RQ3 S_n-closure と Minkowski minima によって同じ場を定義する height ≤ X の多項式を制御できるか。
• RQ4 n=2 および n>2 の漸近に現れる定数を正確に特定できるか。

主な発見

• n=2 の場合、P^1-height ≤ X をもつ二次体の数は漸近的に (27/π^2) X^2。
• n>2 の場合、P^1-height ≤ X をもつ次数nの数体の数はある正の定数 C_n により C_n X^{n+1} に漸近する。
• height ≤ X の不可約二項n-ic 形のうち、別の height-bounded 形を介して場を生じさせ、GL2等値でないものの割合は X→∞ とともに0に近づく。
• 同じ場を生み出す height ≤ X のほとんどの多項式は、予測される同値性の範囲内で同じ GL2×GL1 軌道に属する。