[論文レビュー] Counting permutations with no long monotone subsequence via generating trees

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、m+1より長い増加部分列を含まない置換の母関数に関するGesselの行列式公式の新規導出を、m−1個の補助パラメータを追跡する再帰的挿入法を用いて行う。この手法を、m+1より長い減少部分列を含まない対合置換へと拡張し、固定点の数を数えることで結果を精緻化し、母関数が有理関数系列の定数項として表せることを示す。

ABSTRACT

We recover Gessel's determinantal formula for the generating function of permutations with no ascending subsequence of length m+1. The starting point of our proof is the recursive construction of these permutations by insertion of the largest entry. This construction is of course extremely simple. The cost of this simplicity is that we need to take into account in the enumeration m-1 additional parameters --- namely, the positions of the leftmost increasing subsequences of length i, for i=2,...,m. This yields for the generating function a functional equation with m-1 catalytic variables, and the heart of the paper is the solution of this equation. We perform a similar task for involutions with no descending subsequence of length m+1, constructed recursively by adding a cycle containing the largest entry. We refine this result by keeping track of the number of fixed points. In passing, we prove that the ordinary generating functions of these families of permutations can be expressed as constant terms of rational series.

研究の動機と目的

• 再帰的挿入構成を用いて、m+1より長い増加部分列を含まない置換の母関数に関するGesselの行列式公式を回復すること。
• 最大の要素を含むサイクルを再帰的に追加することで、この手法を対合置換に拡張し、部分列の回避と固定点の両方を追跡すること。
• これらの置換族の通常母関数が、有理関数系列の定数項として表せることを示すこと。
• 再帰的挿入プロセスから生じるm−1個の催化変数を含む関数方程式を解くこと。

提案手法

• 最大の要素を再帰的に挿入することで置換を構成し、i=2,…,mについて長さiの左端の増加部分列の位置を補助パラメータとして追跡する。
• 再帰的挿入プロセスと部分列制約を符号化するため、m−1個の催化変数を含む関数方程式を導出する。
• 得られた関数方程式を代数的技法を用いて解き、母関数を抽出する。
• 類似の再帰的サイクル挿入法を対合置換に適用し、固定点の数を加味して数え上げを精緻化する。
• 定数項抽出を用いて、通常母関数を有理関数系列として表現する。
• 生成木の構造を活用し、単調部分列制約下での置換および対合置換の再帰的成長をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m+1より長い増加部分列を含まない置換の母関数は、再帰的挿入と補助パラメータを用いてどのように導出可能か？
• RQ2 再帰的構成過程において、m−1個の催化変数がこのような置換の構造を符号化する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ3 同じ再帰的フレームワークを、m+1より長い減少部分列を含まない対合置換の数え上げに適応可能か？
• RQ4 固定点を追跡することで、このような対合置換の数え上げはどのように精緻化されるか？
• RQ5 これらの置換族の通常母関数は、有理関数系列の定数項として表現可能か？

主な発見

• 本稿は、m+1より長い増加部分列を含まない置換の母関数に関するGesselの行列式公式を、再帰的挿入法を用いて成功裏に回復した。
• m−1個の催化変数を含む関数方程式の解法により、母関数が閉形式で得られた。
• m+1より長い減少部分列を含まない対合置換についても、類似の再帰的構成法が開発され、固定点の数を加味した精緻化が行われた。
• 両方の置換族の通常母関数が、有理関数系列の定数項として証明された。
• 本手法により、単調部分列制約を伴う複雑な数え上げ問題が、補助パラメータを用いた再帰的木構造による構成で解けることが示された。
• このフレームワークは、置換の数え上げ、催化変数、および定数項表現による有理関数系列の間の深い関係を明らかにした。