[論文レビュー] Counting Points on Hyperelliptic Curves using Monsky-Washnitzer Cohomology

Kiran S. Kedlaya|ArXiv.org|May 3, 2001

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用数 204

ひとこと要約

本稿では、奇数の標数を持つ有限体上の超楕円曲線の有理点を数える多項式時間アルゴリズムを提示する。Monsky-Washnitzerコホロロジーを用いてフロベニウスの特徴多項式の $p$-進近似を計算することで、$\bF_{p^n}$ 上の genus $g$ の曲線に対して、$O(g^{4+\theta}n^{3+\theta})$ の漸近的実行時間を達成する。有理ウェイエルシュトラウス点を有する場合、これは高 genus の曲線に対して従来の指数的時間法に比べて顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

We describe an algorithm for counting points on an arbitrary hyperelliptic curve over a finite field of odd characteristic, using Monsky-Washnitzer cohomology to compute a p-adic approximation to the characteristic polynomial of Frobenius. For fixed p, the asymptotic running time for a curve of genus g over the field of p^n elements is O(g^{4+ε} n^{3+ε}).

研究の動機と目的

• 奇数の標数を持つ有限体上の超楕円曲線の有理点数を効率的に数えるアルゴリズムの開発。これにより、従来の指数的時間法の制限を克服する。
• Schoofの方法のような genus 1 の点数計算法を高 genus に拡張することが計算的に非現実的になることへの対処。
• 明示的なヤコビアンモデルや形式的群の計算に依存しない $p$-進コホロロジー的アプローチの提供。これらは genus に指数的に依存する。
• 有理ウェイエルシュトラウス点を有する曲線に対して、genus $g$ および体の拡大次数 $n$ に関して多項式時間の複雑度を達成し、高 genus での実用的計算を可能にする。

提案手法

• 曲線の特徴零へのライフトを用いて de Rham コホロロジーを計算するために、Monsky-Washnitzer ダガー コホロロジーを用いる。座標環の弱完備化により積分の収束を保証する。
• 座標環上のフロベニウスの持ち上げとべき級数展開を用いて、コホロロジー空間上でのフロベニウス自己準同型の作用の $p$-進近似を計算する。
• 反復平方を用いた行列の指数化と反復的なフロベニウスのねじれを用いて、$\bF_{p^n}$ 上のコホロロジー基底上でのフロベニウス作用の計算を行う。
• 精度と効率を維持するために、拡張された GCD アルゴリズムを用いて微分形式を曲線の定義方程式で還元する。
• ベクトルの反復乗算と行列の逆行列計算を用いて、フロベニウス行列の特徴多項式を計算し、ゼータ関数を抽出する。
• 時間複雑度の低減に向け、$\bZ_p/(p^N)$-拡張における高速算術と最適化された多項式評価（例：Paterson-Stockmeyer）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高 genus および体の拡大次数に関して多項式時間で、有限体上の超楕円曲線のゼータ関数を $p$-進コホロロジー的手法で計算可能か？
• RQ2 Monsky-Washnitzer コホロロジーは、Schoof や Satoh のような従来の方法に、高 genus の点数計算において置き換えることができるか？
• RQ3 明示的なヤコビアンモデルを必要とせず、genus $g$ および体の拡大次数 $n$ に関して多項式時間の複雑度を達成することは可能か？
• RQ4 有理ウェイエルシュトラウス点の存在が、アルゴリズムの実行可能性と複雑度に与える影響は何か？
• RQ5 完全な特徴多項式よりも、フロベニウスのニュートン多角形をより効率的に計算するためのアルゴリズムの適合は可能か？

主な発見

• 有理ウェイエルシュトラウス点を有する $\bF_{p^n}$ 上の genus $g$ の超楕円曲線に対して、$O(g^{4+\theta}n^{3+\theta})$ の漸近的実行時間を達成する。
• Schoof や Satoh のような従来の方法とは異なり、genus $g$ および体の拡大次数 $n$ に関して多項式時間である。
• 主な計算コストは、$2g \times 2g$ 行列演算に起因する行列の指数化と特徴多項式の計算であり、両者とも $O(g^{4+\theta})$ の時間が必要となる。
• $n^{3+\theta}$ 要因は、剰余体上での反復的フロベニウス自己準同型 $\tau = \rho^k$ の適用に起因し、各指数化ステップで $O(\theta)$ 回の適用が必要となる。
• 形式的群やヤコビアン方程式に依存しないため、それらのモデルが非現実的になる高 genus の曲線に対しても適用可能である。
• ステップ 2 において、基底ベクトル上のフロベニウス作用の並列化による最適化の可能性は存在するが、ステップ 3 の $g^4$ ボトルネックは並列化によっては解消されない。