[論文レビュー] Counting pseudo-holomorphic discs in Calabi-Yau 3 fold

Kenji Fukaya|ArXiv.org|Aug 2, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$c^1(M) = 0$ である6次元のCalabi-Yau 3-fold $M$ と、Maslov指数が0であるLagrangian部分多様体 $L \subset M$ の対 $(M,L)$ に対して不変なスーパーポテンシャルを構成する。擬全純な円板と球面を用いて、$J$-依存のスーパーポテンシャル $\Psi$ を定義し、その臨界点がバインディングコチェインに対応することを示す。また、臨界点における $\Psi $ の値が摂動データに依存しないことを証明し、$L$ が有理ホモロジー球面である場合には、$M$, $L$, および almost complex 構造 $J$ のみに依存する数値的不変量が得られることを示す。

ABSTRACT

n this paper we define an invariant of a pair of 6 dimensional symplectic %optional manifold with vanishing 1st Chern class and its Lagrangian submanifold with vanishing Maslov index. This invariant is a function on the set of the path connected components of the bounding cochains (solution of A infinity version of Maurer-Cartan equation of the filtered A infinity algebra associated to the Lagrangian submanifold). In the case when the Lagrangian submanifold is a rational homology sphere, it becomes a numerical invariant. This invariant depends on the choice of almost complex structure. The way how it depends on the almost complex structure is described by a wall crossing formula which involves moduli space of pseudo-holomorphic spheres.

研究の動機と目的

• 6次元のCalabi-Yau 3-fold $M$ と、Maslov指数が0である特別なLagrangian部分多様体 $L$ からなる対 $(M,L)$ に対して、新しい不変量を定義すること。
• 擬全純な円板と球面のモジュライ空間を用いて、$J$-擬全純曲線からの量子補正を符号化するスーパーポテンシャル $\Psi$ を構成すること。
• スーパーポテンシャルの臨界点集合が、バインディングコチェインのゲージ同値類に対応することを確立し、その臨界点における値が摂動データに依存しないことを示すこと。
• $L$ が有理ホモロジー球面である場合に、この不変量が $M$, $L$, および almost complex 構造 $J$ のみに依存する数値的不変量に簡略化されることを証明すること。
• 擬全純な球面のモジュライ空間を用いて、$J$-依存性におけるウォールクロッシング現象を調査し、鏡像対称性を介してDonaldson-Thomas不変量と関連付けること。

提案手法

• Lagrangian $L$ に関連する循環的フィルター付き $A_\infty$ 代数 $\Lambda(L)$ を構成し、$k+1$ 個のマークド点を持つ擬全純円板のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{k+1}(\beta;J)$ を用いて、$J$-依存の演算 $\mathfrak{m}_{k,\beta}^J$ を定義する。
• スーパーポテンシャル $\Psi(b;J)$ を、$k$-円板の寄与と定数項 $\mathfrak{m}^{J}_{-1,\beta} = \#\mathcal{M}_0(\beta;J)$ の和として定義する。ここで $\mathfrak{m}^{J}_{-1,\beta}$ は、マークド点のない $J$-擬全純円板の数を表す。
• 仮定1：$L$ と交わる非自明な $J$-擬全純球面が存在しないこと。これにより、横断性とスーパーポテンシャルの収束性が保証される。
• 擬アイソトピー理論とゲージ不変性を用いて、$\Psi$ の臨界点が、$\mathcal{M}(L;J;\Lambda_+)$、すなわちバインディングコチェインのゲージ同値類の集合と一対一対応することを示す。
• $H^1(L;\mathbb{Z})$ が非自明な場合に対応する形式的べき級数環 $\Lambda_0\langle\!\langle y_1,\dots,y_{b_1}, y_1^{-1},\dots,y_{b_1}^{-1}\rangle\!\rangle$ に $\Psi$ の定義域を拡張する。
• $J$-依存性のウォールクロッシング公式を、almost complex 構造空間内のウォールを越えて $\mathfrak{m}^{J}_{-1,\beta}$ の変化を分析することによって導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$c^1(M) = 0$ かつ $\mu_L = 0$ を満たす対 $(M,L)$ に対して、擬全純円板を用いて $J$-依存の不変量を定義できるか？
• RQ2 スーパーポテンシャル $\Psi$ は almost complex 構造 $J$ の選択にどのように依存するか？ また、異なる $J$ の間でどのように変化するか？
• RQ3 どのような条件下でスーパーポテンシャルが数値的不変量を生じるか？ また、これは $L$ の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ4 スーパーポテンシャルは $y_i = e^{x_i}$ に関する形式的べき級数に拡張可能か？ その収束性と代数的構造はどのようなものか？
• RQ5 この不変量とDonaldson-Thomas不変量との間には鏡像対応が存在するか？ また、Lagrangian に対する安定性条件がモジュライ空間をどのように精緻化するか？

主な発見

• スーパーポテンシャル $\Psi(b;J)$ は、その臨界点集合 $\mathcal{M}(L;J;\Lambda_+)$ に制限した場合、摂動データに依存せず well-defined であり、これはバインディングコチェインのゲージ同値類に対応する。
• $L$ が有理ホモロジー球面である場合、$\mathcal{M}(L;J;\Lambda_+)$ は一点であるため、その点における $\Psi$ の値は $(M,L,J)$ のみに依存する数値的不変量となる。
• $J$-依存性は、$J$-擬全純球面のモジュライ空間に起因するウォールクロッシング公式によって支配され、$\mathfrak{m}_{-1,\beta}^J$ の数え上げの変化を説明する。
• スーパーポテンシャル $\Psi$ は $y_i = e^{x_i}$ に関する形式的ローレンツべき級数に拡張可能であり、その臨界点は $\nabla_y \Psi = 0$ によって定義され、Maurer-Cartan 方程式の一般化を表す。
• この構成は、鏡像対称性を介してDonaldson-Thomas不変量と関連する可能性を示唆しており、Lagrangian 対のモジュライ空間 $\mathfrak{Lag}(M)$ は非分離な剛体解析的スタックのようであり、スーパーポテンシャルはホロモーフィック Chern-Simons汎関数の役割を果たす。
• $H^1(L;\mathbb{Q}) \neq 0$ の場合、特定の境界条件のもとでウォールクロッシング現象が消える可能性があり、これは高 genus の場合における代数的構造のホモトピー不変性を示唆する。