[論文レビュー] Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I

To Sasha Mednykh|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、与えられた次数の有理関数の空間のコンパactificationであるHurwitz空間上の交線論と、Lyashko-Looijenga写像の次数との間の関係を確立する。Hurwitz空間のコホモロジー代数を解析することにより、ストラトのホモロジー類の間の明示的な関係式が導かれる。これにより、代数幾何学的手法を用いた分岐被覆の数え上げのための位相的枠組みが提供される。

ABSTRACT

The Hurwitz space is a compactification of the space of rational functions of a given degree. The Lyashko-Looijenga map assigns to a rational function the set of its critical values. It is known that the number of ramified coverings of CP 1 by CP 1 with prescribed ramification points and ramification types is related to the degree of the Lyashko–Looijenga map on various strata of the Hurwitz space. Here we explain how the degree of the Lyashko-Looijenga map is related to the intersection theory on this space. We describe the cohomology algebra of the Hurwitz space and prove several relations between the homology classes represented by various strata.

研究の動機と目的

• Lyashko-Looijenga写像の次数とHurwitz空間上の交線論との関係を理解すること。
• 有理関数のHurwitz空間のコホモロジー代数を記述すること。
• Hurwitz空間内のさまざまなストラトが表すホモロジー類の間の関係を導出すること。
• 代数トポロジー的手法を用いて、分岐被覆の数え上げのための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 固定された次数の有理関数の空間のコンパクト化としてHurwitz空間を分析する。
• 臨界値を有理関数に割り当てるLyashko-Looijenga写像を適用する。
• Hurwitz空間上の交線論を用いて、Lyashko-Looijenga写像の各ストラトにおける次数を計算する。
• コホモロジー代数の構造を用いて、ストラトのホモロジー類の間の関係を同定および証明する。
• 代数幾何学的道具を用いて、位相的不変量と数え上げ問題とを関連付ける。
• 分岐データとHurwitz空間内のコホモロジー的不変量との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lyashko-Looijenga写像の次数は、Hurwitz空間上の交線論とどのように関係するか？
• RQ2 有理関数のHurwitz空間のコホモロジー代数の構造は何か？
• RQ3 Hurwitz空間内の異なるストラトのホモロジー類の間にはどのような関係が存在するか？
• RQ4 交線論的手法を用いて、CP¹への分岐被覆をどのように数え上げることができるか？
• RQ5 どのような位相的不変量が有理関数の分岐データを符号化するか？

主な発見

• Hurwitz空間のコホモロジー代数が完全に記述され、交線数の体系的計算が可能になった。
• Hurwitz空間内のさまざまなストラトが表すホモロジー類の間の明示的な関係式が導出された。
• 各ストラトにおけるLyashko-Looijenga写像の次数は、交線論的不変量によって決定される。
• 本稿は、モジュライ空間における分岐型データとコホモロジー的不変量との間の明確な関係を確立した。
• この枠組みにより、位相的および代数的手法を用いた分岐被覆の列挙が可能になった。
• 結果として、Hurwitz数の交線論的解釈が、Hurwitz空間上の交線論によって幾何学的に解釈された。